شاخص هندسی-درجه‌ دوم \\((GQ)\\) یک توصیفگر توپولوژیکی مبتنی بر درجه است که به تازگی معرفی شده و کومار و همکاران مشاهده کرده‌اند که به طور بالقوه یک توصیفگر مولکولی بسیار خوب است. در این پایان‌نامه، گراف‌های (شیمیایی) اکسترمال و درخت‌ها را از نظر \\((GQ)\\) برای یک مرتبه و اندازه معین مشخص می‌کنیم. سپس درخت‌های \\(n\\) راسی، گراف‌های تک‌دوری و دودوری با بیشترین، دومین، سومین، چهارمین، پنجمین و ششمین مقدار بیشینه این شاخص هندسی درجه دوم تعیین می‌شوند. ‎‎‎  

فرض کنید \\(G\\) یک گراف باشد. شاخص زاگرب اول به عنوان مجموع مربع‌های درجات رئوس \\(G\\) تعریف می‌شود؛ همچنین شاخص زاگرب دوم، مجموع حاصل‌ضرب درجات رئوس مجاور است. هدف اصلی این پایان‌نامه، توصیف کامل درخت‌های با \\(k \\geq 1\\) راس مشخص، که دارای درجه ماکسیمم ثابت \\(\\Delta \\geq 3\\) هستند، با توجه به ماکسیمم و مینیمم مقادیر شاخص‌های زاگرب می‌باشد. در میان دیگر نتایج، ساختار درخت‌های اکسترمال و کاربردهای آن‌ها را در خانواده درختان شیمیایی مطالعه می‌کنیم.  

در این پایان‌نامه، حلقه‌هایی را بررسی می‌کنیم که روی آن‌ها هر مدول دارای خاصیت هم-درون‌بر است. مدول راست $M$ را یک مدول هم-درون‌بر می‌نامند، اگر برای هر زیرمدول سره $N$ از $M$، یک هم‌ریختی ناصفر $\\varphi: N \\to M$ وجود داشته باشد. ما حلقه‌هایی را بررسی می‌کنیم که در آن‌ها، همه‌ مدول‌ها هم-درون‌بر باشند. همچنین بررسی خواهیم کرد که حلقه $R$ یک حلقه به‌طور کامل هم-درون‌بر راست (چپ) است اگر و تنها اگر با حاصلضرب متناهی از حلقه‌های کامل موضعی یکریخت باشد. %همچنین، چندین کلاس از مدول‌ها روی حلقه‌های نوتری چپ معادل هستند. ما نشان می‌دهیم که: %روی حلقه نوتری چپ $R$، حلقه $R$ نیم‌آرتینی چپ و $V$-حلقه چپ است اگر و تنها اگر $R$ یک حلقه به‌طور کامل هم-درون‌بر باشد.   

در این ‏پایان نامه بر روی اصل تغییراتی اکلند و برخی کاربردهای آن در مسائل تعادل و شبه تعادل و نتایج وجودی برای مسائل تعادل و تعادل ‏مینتی تمرکز می کنیم. ابتدا اصل تغییراتی اکلند را بیان می کنیم ‏و سپس با استفاده از آن, ‎‏فرم‎‎ های تعادلی از اصل تغییراتی اکلند را برای توابع به طور دوری غیریکنوا و به طور دوری یکنوا ارائه می دهیم و با استفاده از این فرم های تعادلی, ‎‏دو قضیه وجودی را به ترتیب برای مسائل تعادل و تعادل مینتی ارائه می دهیم. همچنین با استفاده از اصل تغییراتی اکلند یک قضیه وجودی را برای مسئله شبه تعادل بیان می کنیم. در ادامه به مطالعه وجود جواب برای مسائل تعادل و تعادل مینتی و سپس ارتباط بین آنها می پردازیم. لازم به ذکر است که با فرضیات متفاوتی مانند لم‎‎‎‎‎‎ مینی,‎‎‎ ‎‎ ‎‏به‎ طور دوری یکنوایی و به طور دوری غیریکنوایی, ‎‏به‎‎‎ این ارتباط در فضاهای توپولوژیک‎‏,‎ ‏فضاهای برداری توپولوژیک و ‎‎ ‎‎فضاهای باناخ خواهیم پرداخت.   

در این پایان نامه، ما یک مدل اپیدمی چندگروهی از نوع SAIRS را با واکسیناسیون مطالعه می کنیم. نقش افراد عفونی بدون علامت و علامت دار به صراحت در الگوی انتقال بیماری در بین گروه های که جمعیت در آن ها تقسیم مس شود در نظر گرفته می شود. ما یک تحلیل ثبات سراسری برای مدل ارائه می دهیم. ما ارزش عدد تولیدمثل پایه R0 را تعیین می کنیم و ثابت می کنیم که نقطه تعادل عاری از بیماری به طور سراسری مجانبی پایدار است اگر1 > R0 باشد. در مورد مدل بدون واکسیناسیونSAIRS، ما ثبات مجانب سراسری نقطه تعادل عاری از بیماری را نیز زمانی که 1 = R0 باشد، ثابت می کنیم. علاوه براین، اگر1 < R0 باشد، نقطه تعادل عاری از بیماری ناپایدار است و یک نقطه تعادل بومی منحصربه فرد وجود دارد. ابتدا ما پایداری موضعی مجانبی نقطه تعادل بومی و متعاقبا پایداری سراسری آن را برای دو تغییر از مدل اصلی بررسی می کنیم. در آخر ما شبیه سازی های عددی را برای مقایسه شیوع همه گیری در توپولوژی های شبکه های مخالف ارائه می کنیم.

امروزه ظهور مدل­های مولد مبتنی بر یادگیری ماشین، کاهش قابل توجهی را در نرخ بیت رمزواره‌[1]های گفتاری فراهم نموده است. با این حال، در شرایط واقعی و در حضور عوامل مخربی نظیر نویز و اعوجاج، فرآیندهای فوق با مشکلات جدی مواجه می­شوند که این امر ناشی از حساسیت معیار حداکثر مقدار شباهت به نقاط پرت و نیز ناکارآمدی مدل­سازی مجموع سیگنال­های مستقل با به کارگیری مدل اوتورِگرِسیو می­باشد . در این پایان نامه روشی مبتنی بر منظم‌سازی واریانس پیش‌بینی‌کننده را معرفی می‌شود تا با استفاده از آن حساسیت به موارد پرت را کاهش داده و در نتیجه کارکرد سیستم را افزایش دهیم. به­علاوه نشان داده می­شود که کاهش نویز برای حذف سیگنال­های ناخواسته می­تواند کارکرد را به طور قابل توجهی افزایش دهد. همچنین ارزیابی­های هدفمند گسترده­ای ارائه خواهد شد که نشان می­دهد سیستم پیشنهادی بر پایه­ی مدل مولد، حالت کارکرد کدگذاری نوینی را برای سیگنال­های گفتاری زمان واقعی در   3 کیلوبیت بر ثانیه ارائه می­کند. [1] Codec   

  در

   تعامل شکار-شکارچی یا منبع-مصرف کننده، اساسی ترین و مهم ترین فرآیند در پویایی جمعیت است. بسیاری از گونه   ها، مانند گیاهان تک باره و جانوران یک بار زا که پس از زادآوری می میرند، دارای نسل های ناهمپوشان گسسته هستند و تولد آنها در فصول تولید مثل به طور منظم اتفاق می افتد. فعل و انفعالات آنها با معادلات تفاضلی توصیف و یا به صورت نگاشت های زمان-گسسته فرموله می شوند. در این پایان نامه، انشعابات را در یک مدل شکار-شکارچی گسسته با تابع پاسخ غیر یکنوا که توسط تابع ساده شده هالینگ IV توصیف شده است، مطالعه می کنیم. همچنین ثابت می کنیم که مدل فوق انشعاب های مختلفی از هم بعد 1 را نشان می دهد، که شامل انشعابات فولد، انشعاب ترا بحرانی، انشعاب فلیپ و انشعاب نیمارک-ساکر می باشد، زیرا مقادیر پارامترها متفاوت است. علاوه بر این، وجود انشعاب بوگدانوف -تاکنز از هم بعد 2 را مشخص و عبارات تقریبی منحنی های انشعاب را محاسبه می کنیم شبیه سازی های عددی نیز دهد برای نشان دادن تحلیل نظری ارائه شده اند این نتایج نشان می دهد که انشعاب بوگدانوف-تاکنز از هم بعد 2 در تکینی تبهگن در هر سه نسخه زمان-پیوسته، زمان-گسسته و زمان-تاخیری از مدل شکار-شکارچی با تابع پاسخ غیر یکنوا برقرار است.

  مدولهای درون منظم موضوع بسیاری از مقالات در طول شصت سال گذشته بوده که فوچز این سوال را مطرح کرد که کدام گروه آبلی درون منظم هستند. گلاز و ویکلس در [19[ و رنگسومی در [30 [به این سوال برای طبقات بزرگی از گروههای آبلی پاسخ دادند. اما مسئله همچنان باز است. ویر ? در [3? [جز اولین کسانی بود که روی مدول های درون منظم روی حلقه های دلخواه بررسی کرد، او بیشتر بر مدول تصویری تمرکز داشت. لی و همکارانش، بعدها در [23 [تحقیقات کلی تری در مورد مدولهای درون منظم انجام دادند. حلقه های منظم یکه یکطرفه و مدولهای درون منظم یکه یکطرفه، برای اولین بار توسط ارلیچ در [10 ،11 [مورد مطالعه قرار گرفت. لی و ژانگ در [38 [در مورد این موضوع توضیح دادند. همچنین مدولهای درون منظم قوی توسط لی و همکارانش در [23 ،38 [مورد بحث قرار گرفتند که این مدول ها را “مدولهای درون منظم آبلی” نامیدند. [همچنین گلاز و ویکلس در [19 ،([نتایجی در مورد ایده آل درون منظم(برای مثال، گروه های آبلی ) ثابت کرد. در مطالب پیش رو هدف بررسی سه مورد خواهد بود. ابتدا چندین نتیجه کلی در مورد اشکال مختلف “درون منظم” را ثابت خواهیم کرد، که بر تئوری توسعه یافته قبلی بسط داده شده است. سپس بسیاری از نتایج شناخته شده در مورد “درون منظم” در گروههای آبلی را به مدولها روی حلقه های جابه جایی با طیف نوتری گسترش خواهیم داد. در نهایت تعمیم مفیدی از مدولهای درون منظم (روی حلقه های جابهجایی) را تعریف می کنیم که آن را مدولهای درون منظم ضعیف می نامیم و بسیاری از ویژگیهای این مدولها را بررسی خواهیم کرد

در این پایان‌نامه، به مطالعه جبرهای لایبنیتز پادمرکز (لی-مرکز) و چندین مفهوم مرتبط با این نظریه خواهیم پرداخت. ‎هچنین‎ کران هایی برای بُعد اَبَرمرکز یک جبر لایبنیتز به‌دست آوریم. بعلاوه به بررسی و مطالعه توسیع‌های لی-مرکزی و به‌دست آوردن دنباله دقیق 6 جمله‌ای از گروه‌های لی-همولوژی مرتبط با توسیع‌های لی-مرکزی می‌پردازیم. از این‌رو می‌توانیم توسیع‌های لی-تنه‌ای‏، پوشش‌های-تنه‌ای و لی-توانا جبرهای لایبنیتز را توصیف و بررسی کنیم.  

  فرض کنید ‎$V$‎ یک فضای برداری ‎$n$-‎بعدی روی میدان متناهی ‎$q$-‎عضوی باشد. گراف گراسمان ‎$V$‎ که به صورت ‎$\\Gamma _k(V)$‎ نشان داده می‌شود، یک گراف ساده است که مجموعه رئوس آن مجموعه‌ی تمام زیرفضاهای ‎$k$-‎بعدی از ‎$V$‎ است به طوری‌که ‎<k<n-1$‎ باشد و دو راس متمایز در این گراف، دو راس مجاور هستند اگر اشتراک آن‌ها، زیرفضای ‎$k-1$-‎بعدی از ‎$V$‎ باشد. تحدید گراف گراسمان ‎$\\Gamma _k(V)$‎ به مجموعه‌ی تمام ‎$[n,k]_q$-‎کدهای‌خطی غیرمولد با نماد ‎$\\Gamma (n,k)_q$‎ نشان داده می‌شود. در این پایان‌نامه نشان می‌دهیم که اگر ‎$n$‎ به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد آن‌گاه دو کد وجود دارند که فاصله آن‌ها در ‎‎‎ گراف‌های ‎$\\Gamma _k(V)$‎ و ‎$\\Gamma (n,k)_q$‎ متفاوت است. همچنین یک کلاس از چنین کدهایی ‎معرفی می‌شود. در ادامه نشان داده می‌شود که زیرگراف القایی ‎$\\Gamma _k(V)$‎ روی ‎$[n,k]_q$-‎کدهای تصویری همبند است، قطر آن برابر است با قطر گراف گراسمان و فاصله بین هر دو راس آن برابر است با فاصله بین همان دو راس در گراف گراسمان. سپس به بررسی کدهای سادکی می‌پردازیم. در پایان ثابت می‌کنیم کد سادکی دودویی از بعد ‎$3$‎ دقیقاً زیرفضای ماکزیمال از یک فرم درجه دوم غیرمولد آن است.

  فرض کنید ‎$G$‎ یک گراف با ماتریس مجاورت ‎$A(G)$‎ باشد. پوچی ‎$\\eta(G)$‎ از ‎$G$‎، تکرر صفر به عنوان یک مقدار ویژه ‎$A(G)$‎ تعریف می‌شود که بخاطر اهمیت آن در شیمی، توجهات زیادی را جلب کرده است. در اینجا, کران‌های بالایی برای ‎$\\eta(G)$‎ مشخص می‌شود. به طور مثال نشان ‌داده‌می‌شود که ‎$\\eta(G) \\leq \\frac{(\\Delta‎- ‎2)n‎ + ‎2}{\\Delta‎- ‎1}$‎ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$G\\cong C_n$ ($n \\equiv 0(\\rm mod 4)$)‎ یا ‎$G \\cong K_{\\Delta‎, ‎\\Delta}$‎. تکرر یک مقدار ویژه ‎$\\lambda$‎ از ‎$A(G)$‎ با ‎$m(G,\\lambda)$‎ نشان داده می‌شود. فرض کنید ‎$\\theta(G) =|E(G)|-|V(G)|‎ +‎1$‎ عدد دوری ‎$G$‎ و ‎$p(G)$‎ تعداد راس‌های آویز ‎$G$‎ باشد. در این پایان‌نامه، ثابت می‌شود که برای گراف همبند ‎$G$‎، ‎$m(G‎, ‎\\lambda) \\leq 2\\theta(G)‎ ‎+p(G)$،‎ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$G$‎ دور ‎$C_n$‎ باشد و برای ‎$k=1,2,\\ldots \\lceil\\frac{n}{2}\\rceil-1$‎، ‎$\\lambda=2\\cos \\frac{2k\\pi}{n}$‎. ‎\\\\‎ ‎

 در این پایان نامه به بررسی شرایط لازم و کافی برای این که یک حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب باشد پرداخته ایم. فصل اول شامل مفاهیم و تعاریف اولیه می باشد. در فصل دوم حلقه گروه پوچ-تمیز و به طور ضعیف پوچ-تمیز را تعریف می کنیم. هدف اصلی فصل سوم بررسی حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب می باشد.

. فرض کنید یک جبر مثلثی روی یک حلقه ی جابجایی داشته باشیم که یک خود ریختی از جبر مذکور و مرکز آن تعریف شده باشند. فرض کنید طبق آن جبر مثلثی یک نگاشت دو خطی و اثر آن را داشته باشیم. هدف ما توضیح فرمی از آن اثر است که در شرط جابجایی یا همین طور شرط مرکزی صدق کند. به طور دقیق تر، ما این سوال را بررسی می کنیم که چه زمانی اثر ماتریس با شرایط قبلی محض است؟ ما شرایط کافی برای اینکه هر اثر مرکزی از نگاشت دو خطی دلخواه روی یک جبر مثلثی محض باشد را فراهم می کنیم و این نتیجه را برای توصیف اثرهای مرکزی از نگاشت های دو خطی روی جبرهای مثلثی کلاسیک مشخص، اعمال می کنیم.

در این پایان نامه نمایشی برای توابع پیوسته پیدا کرده و سپس قضیه نمایش ریس را با استفاده از مساله تعادل بررسی میکنیم 

در این پایان‌نامه ابتدا به معرفی مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته می‌پردازیم. سپس احکامی در مورد اجتماع و اشتراک مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته ارائه می‌دهیم. با معرفی عضو‌های به‌طور جابه‌جایی بسته، روابطی را میان این عضو‌ها با مجموعه‌های متناهی ددکیند بیان کرده سپس شرط برگشت‌پذیر بودن یک عضو به‌طور جابه‌جایی بسته را بررسی می‌کنیم. همچنین مثال‌های متنوعی را ارائه داده و با ویژگی‌های جدیدی برای زیرمجموعه یک حلقه آشنا می‌شویم و برخی حلقه‌ها مانند حلقه‌های ‎2-‎اولیه را با کمک این مفاهیم بررسی می‌کنیم. همچنین ویژگی‌های مرتبط با مقسوم علیه صفر و برگشت پذیری حلقه‌های جابه‌جایی را مطالعه می‌کنیم. سپس ارتباط حلقه برگشت‌پذیر و حلقه منظم قوی بیان می‌شود.  

فرض کنید nq(k‎, ‎d)   مینیمم طول n برای یک [n‎, ‎k‎, ‎d] q-کد   باشد. در نظریه کدگذاری یک کران پایین طبیعی برای nq(k‎, ‎d) وجود دارد که به آن کران گریسمر می‌گویند: ‎ nq(k‎, ‎d) ? gq(k‎, ‎d) =‎‎i=0k-1[dqi] ‎.‎ در این پایان‌نامه تعداد زیادی [n‎, ‎4‎, ‎d] 9-کد که طول آنها نزدیک به کران گریسمر است ساخته می‌شوند. همچنین از روش‌های هندسی روی هندسه‌های تصویری استفاده کرده و عدم وجود برخی کدهای خطی به طول گریسمر را ثابت می‌کنیم تا مقدار دقیق n9(4‎, ‎d) تعیین شود یا کران آن بهبود یابد. در پایان جدول به‌روزرسانی شده n9(4‎, ‎d) برای مقادیر d به غیر از حالت‌های شناخته شده آورده شده است.‎

کدهای خود دوگان و دوری روی حلقه های فروبنیوسی

   برای‎‎‎‎ عدد صحیح ‎‎$‎‎k\\geq 2‎$‎، یک گراف ‎‎$‎‎k‎$‎‎-رز گرافی است شامل ‎‎$‎‎k‎$‎ دور که در یک راس مشترک هستند. در این پایان‌نامه، نشان داده می‌شود که به استثناء دو مثال خاص، این گراف‌های رز توسط طیف لاپلاسین تعیین می‌شوند. سپس ثابت می‌شود که اگر طیف ماتریس لاپلاسین جهانی دو گراف رز یکسان باشد، آنگاه آن دو گراف یکریخت هستند. به یاد هورست ساکس (2016-1927)، با استفاده از قضیه ساکس و یک نتیجه جدید در مورد تعداد تطابق‌‌ها در اجتماع مجزای مسیرها، حالت خاص نتیجه مذکور در مورد ماتریس مجاورت را اثبات می‌کنیم. سپس روش جدیدی برای تعیین دنباله درجات گراف‌های متعلق به یک کلاس هم‌طیف معرفی می‌شود. در دیگر نتایج، ثابت می‌کنیم که تمام گراف‌های ‎‎$‎‎2‎$‎‎-رز، به غیر از یک مورد، توسط طیف لاپلاسین بدون علامت تعیین می‌شوند.

کدهای‎‎ خطی‎ علاوه بر کاربردهایشان در زمینه انتقال اطلاعات و ذخیره‌سازی داده‌ها، دارای کاربردهای خوبی در ترکیبیات و رمزنگاری هستند که به‌عنوان یک کلاس ویژه از کدهای خطی، کدهای خطی مینیمال کاربردهای مهمی در اشتراک‌گذاری مخفی و محاسبه دوبخشی ایمن دارند. کدخطی مینیمال همواره یک موضوع جذاب برای محققان در زمینه‌ی نظریه کدگذاری و رمزنگاری بوده است. آشیخمین و بارگ نشان دادند که شرط ‎‎‎‎‎‎$‎‎‎\\frac{w_{min}}{w_{max}‎}‎‎>‎\\frac{q-‎‎1}{q‎}‎$‎‎‎‎‎ یک شرط کافی برای مینیمال بودن یک کدخطی روی میدان متناهی ‎‎$‎F_q‎$‎ است که در آن ‎‎$‎q‎$‎ توانی از یک عدد اول و ‎‎‎$w_{min}‎$‎‎‎ و ‎‎$‎w_{max}‎$‎ به‌ترتیب کمترین و بیشترین وزن غیرصفر در بین کدکلمات است. اولین هدف این پایان‌نامه، آماده کردن یک شرط لازم و کافی برای مینیمال شدن کدهای خطی روی میدان‌های متناهی است. این شرط به ما کمک می‌کند تا چندین خانواده نامتناهی از کدهای خطی مینیمال با شرط ‎‎‎$‎‎‎\\frac{w_{min}}{w_{max}‎}‎‎\\leq ‎‎\\frac{q-‎‎‎‎1}{q‎}‎‎‎‎$‎ بسازیم. دومین هدف این پایان‌نامه، ساختن خانواده نامتناهی از کدهای خطی مینیمال دوتایی و سه‌تایی ناقض شرط آشیخمین و بارگ است که توزیع وزن آن‌ها نیز مشخص می‌شود.  

  هدف از این پایان نامه مطالعه حلقه هم مورفیک چپ می باشد.عنصر a از حلقه R هم مورفیک چپ نامیده می شود هرگاه عضو b از R وجود داشته باشد به طوری که Ra = l(b) و r(a) = bR

فرض کنید   G گرافی ساده با طیف لاپاسین ????_1???_2???????_(n-1)???_n=  باشد. گستردگی لاپلاسین G به صورت   S_L (G)=?_1-?_(n-1)  تعریف می شود. در این پایان نامه، کران های پایین جدیدی برای گستردگی لاپلاسین برحسب پارامترهای گرافی مانند پهنای باند، عدد استقلال و همبندی راسی به دست می ایند. سپس یک کران بالای بهینه برای   S_L (G)  ارائه کرده و با استفاده از آن حدس  _L (G)?n-1   را برای گراف –t   شبه منظم به ازای  t??(n-3+2/n) اثبات می کنیم. در بین دیگر نتایج نشان داده می شود که این حدس برای برخی گراف های خاص مانند گراف های خالی از مثلث درست است. در پایان، چند کران برای  _L (G) ارائه می دهیم.  

فرض کنید ‎$G$‎ گرافی ‎$‎ ‎-n$‎راسی و ‎$‎ -‎m $‎یالی با ماکزیمم درجه ‎‎$‎‎\\Delta‎$‎‎، میانگین درجات ‎‎‎‎$‎‎‎\\overline{d}=‎\\frac{2m}{n‎}‎$‎‎‎ و عدد خوشه‌ای ‎‎$‎‎\\omega‎$‎ باشد که دارای طیف لاپلاسین $\\mu_1 \\geq \\mu_2 \\geq\\cdots\\geq ‎\\mu_{n-‎1} \\geq \\mu_n = 0$‎‎است. برای هر ‎‎$‎‎1\\leq k\\leq n‎$‎ قرار دهید$S_k(G)=\\sum_{i=1}^k\\mu_i$‎. همچنین فرض کنید ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ تعداد مقادیر ویژه لاپلاسین بزرگتر یا مساوی ‎‎$‎‎‎\\overline{d}‎$‎‎ باشد. در این پایان‌نامه، کران‌های پایین و بالایی برای ‎‎$‎‎S_{\\omega-1}‎$‎ و ‎‎$‎‎S_\\sigma‎$‎ بر حسب پارامترهای ‎‎‎‎‎$‎‎m,\\Delta,\\omega‎$‎‎ بدست می‌آیند. به عنوان یک کاربرد از این کران‌ها، کران‌هایی برای انرژی لاپلاسین$LE =\\sum_{i=1}^n|\\mu_i-\\frac{2m}{n}|$‎بدست می‌آوریم که از کران‌های قدیمی‌تر بهتر هستند. در بین دیگر نتایج، گراف‌های آستانه‌ای همبند شناسایی می‌شوند. یک نتیجه از نوع نوردهاوز-گادوم برای ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ نیز اثبات می‌شود. در پایان روابط پارامتر ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ با دیگر پارامترهای گرافی ارائه می‌شوند.  

درا?نپا?اننامهابتدادرفصلاولبهب?انتعاربفمقدماتموردن?ازپرداختهودرفصلدومبهبررس پوچتم?ز R[G] حلقهگروههایپوچتم?زجابهجا?مپرداز?م. درفصلدومثابتمشودکهاگر R[G]،حلقهگروهGو?گروهآبلRپوچتم?زاستون?زبرای?حلقهجابهجا?Rباشدآناه راR?2-گروهتابدارباشدوسپسدرفصلسومGپوچتم?زوRپوچتم?زاستاگروتنهااگر را?گروهدرنظرگرفتهودرموردپوچتم?زبودنحلقهگروههاG?حلقهشرکتپذ?رو?دارو رویحلقههایدلخواهبحثمشودون?زثابتمشود،حلقهگروه،با?2-گروهموضعامتناه R[G] ،اگرR وحلقه G و?حلقهپوچتم?ز،پوچتم?زاست. همچن?نثابتمشودبرایگروه ،?2-گروهاست،ون?زحلقهگروهپوچتوانروی?حلقهدلخواه،Gپوچتم?زباشدآنگاهابرمرکز پوچتم?زاستهرگاهگروهآن?2-گروهوحلقهپوچتم?زباشد.

در این پایان نامه ابتدا ارتباط بین یک ‎‎g‎‎‏-قاب‌ دقیق و یک پایه‌ی ‎‎g‎‎‏-ریس را بررسی خواهیم کرد.‎ همچنین‎ پایداری یک  ‎‎g‎‎‏-قاب دقیق را برای یک فضای هیلبرت تحت اختلالات‏ بررسی می‌کنیم و نشان خواهیم داد که این ویژگی ‎‎g‎-قاب دقیق برای فضاهای هیلبرت مشابه با ویژگی قاب دقیق معمولی نیست.‎ سپس در مورد ‎‎K-g‎‏ قابها ‎‎در فضای هیلبرت بحث می‌کنیم .  

در این پایان‌نامه، دو کران طیفی برای عدد $-k$استقلال گراف مشخص می‌شود. عدد $-k$استقلال گراف، اندازه بزرگ‌ترین مجموعه‌ای از رئوس گراف است که فاصله هردو راس مجاور آن بزرگ‌تر از $k$ باشد. همچنین ساختار گراف‌هایی را تعیین می‌کنیم که برای کران اول بهینه باشند و نشان می‌دهیم که کران دوم نسبت به کران‌های قبلی برای عدد $-k$استقلال گراف مناسب‌تر است. در دیگر نتایج، کران پایینی نیز، برای عدد رنگی و عدد رنگی کسری گراف، ارائه می‌شود که برحسب اینرسی گراف مشخص می‌شود. همچنین گراف‌هایی بهینه نیز، برای این کران‌ها معرفی می‌کنیم. به‌علاوه، ثابت می‌کنیم که این کران، کران پایینی برای عدد رنگی برداری گراف نمی‌باشد. در پایان، چند نتیجه از نوع نتایج نوردهاوس-گادوم بیان و اثبات می‌شود.

در این پایان نامه وجود جوابهای ضعیف برای یک دستگاه معادلات پی لاپلاسین کسری و یک معادله پی لاپلاسین کسری منفرد با توابع وزن دارای تغییر علامت با استفاده از روش منیفلد نهاری مورد بررسی قرار میگیرد. برای این کار متناظر با نقاط بحرانی نگاشت های تاری، منیفلد نهاری به سه زیر مجموعه تقسیم میشود. به علاوه ثابت میشود تابعک انرژی روی منیفلد نهاری بازدارنده و از پایین کراندار است و مینیمم های موضعی روی منیفلد نهاری نقاط بحرانی تابعک انرژی هستند. سپس با نشان دادن وجود دو مینیمم روی زیر مجموعه های منیفلد نهاری متناظر با نقاط ماکسیمم و مینیمم نگاشت های تاری، وجود دو نقطه بحرانی برای تابعک انرژی اثبات خواهد شد.

در این پایان‌نامه، به معرفی‏ ساختار کدهای گراسمن می‌پردازیم‏، کدهای ویژه‌ای که توسط واریته‌ی گراسمن ساخته می‌شود. باشرح ساختار آن‌ها کدواژه‌های با کم‌ترین وزن آن‌ها را محاسبه و دسته‌بندی می‌کنیم. در این دسته‌بندی خطوطی که در واریته‌ی گراسمنی صدق می‌کنند نقش ویژه‌ای دارند. ‎\\\\ ‎‎ ‏کدهای‎ وابسته به کدهای گراسمن کدهای آفین گراسمن و دوگان آن‌ها هستند. ‎\\\\‎‎‏‎ با نتایج فوق اثبات می‌شود که یک کد دوگان گراسمن توسط کدواژه‌های با کم‌ترین وزن تولید می‌شوند.

فرض کنید $ R $ یک حلقه‌ی شرکت‌پذیر یک‌دار و $ M $ یک مدول یکانی باشد. در این پایان‌نامه رادیکال جیکوبسن $ M $ به اختصار با$ rad(M) $ نشان داده می‌شود. همچنین نماد $ N\\subseteq^{ess} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ در $ M $ اساسی است و نماد $ N \\subseteq^{\\oplus} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ یک جمعوند مستقیم از $ M $ است. حلقه‌ی درون‌ریختی $-R$ مدول راست $ M $, یعنی $ End(M) $, با $ S $ نشان داده می‌شود. $ M $ را یک مدول $ C_1 $نامند هرگاه هر زیرمدول از آن در جمعوند مستقیمی از $ M $ اساسی باشد. $ M $ را یک مدول $ C_2 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که $ A \\simeq B $ و $ B \\subseteq^{\\oplus} M $, آن‌گاه $ A \\subseteq^{\\oplus} M $.$ M $ را یک مدول $ C_3 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که   $ A \\subseteq^{\\oplus} $, $ B \\subseteq^{\\oplus} M $ و $ A \\cap B =o $, آن‌گاه $ A \\oplus B \\subseteq^{\\oplus} M $. هدف ما در این پایان‌نامه معرفی و بررسی مدول‌های $ C_3 $ است. نشان داده می‌شود که برای $ 1 \\leq i \\leq 3 $ یک جمعوند از مدول $ C_i $, باز هم یک مدول $ C_i $ است. با وجود این‌که لزومی ندارد مدول $ C_3 $ مدول $ C_2 $ باشد, نشان داده شده است که اگر $ A_{1} \\oplus A_{2} $ یک مدول $ C_3 $ باشد آن‌گاه یک نسبت مدول $ C_2 $ بودن بین $ A_{1} $ و $ A_{2} $ وجود دارد.

این پایان‌نامه به مطالعه خواص و نمایش‌های تحویل‌ناپذیر جبرهای لایبنیز اختصاص دارد. با استفاده از ابزار لی‌سازی برخی از قضایای اساسی نظریه جبرهای لی مثل قضیه انگل، تجزیه لوی و...به جبرهای لایبنیز تعمیم ‎‎می‌دهیم. همچنین ثابت می‌کنیم که هر نمایش تحویل‌ناپذیر یک جبر لایبنیز از نمایش تحویل‌ناپذیر جبر لی نیم‌ساده‌ای که در تجزیه لوی آن جبر ظاهر می‌شود، بدست می‌آید. به عنوان کاربردی از این قضایا نمایش‌های لایبنیتز تحویل‌ناپذیر ‎sl2‎ را مشخص می‌کنیم

طیف لاپلاسین (بدون علامت) گراف‌ها به صورت گسترده‌ای مطالعه شده است. ولی مقدار کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت گراف‌ها و کران‌های بالا و پایین آن، کمتر در نظر گرفته شده است. هدف اصلی این پایان‌نامه بررسی و بهینه‌سازی کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت خانواده‌هایی از گراف‌ها است. گراف همبند ‎$G$‎ را تک‌دوری نامند هرگاه تعداد رئوس و یال‌های آن، با هم برابر باشند. اینجا، گرافی که کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامتش در بین تمام گراف‌های تک‌دوری با مرتبه مشخص، بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد تعیین می‌گردد. همچنین روابط بین کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت گراف‌های همبند ‎$n$-‎راسی و عدد استقلال(عدد پوششی) آنها مطالعه می‌شوند. در دیگر نتایج، گراف‌هایی که در بین تمام گراف‌های غیردوبخشی با عدد استقلال حداقل ‎$\\frac{n-1}{2}$‎ یا عدد پوششی حداکثر ‎$\\frac{n+1}{2}$‎، کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت بزرگتری دارند را تعیین می‌کنیم.

پیش‌گیری از جعل اسناد یکی از موضوعات اصلی مورد توجه سازمان‌های دولتی و غیردولتی و به‌ویژه سیستم‌های قضایی، امنیتی و انتظامی است. بی‌تردید در امرپیش‌گیری توجه به این مهم ضروری است که به موازات پیشرفت در عرصه دانش و فن‌آوری، شیوه‌های ارتکاب جرم جعل نیز در ابعاد و سطوح مختلف در حال تحول می‌باشد. از این‌رو حصول نتایج موثر در پیش‌گیری از جعل اسناد، نیازمند به‌کارگیریشاخص و مولفه‌های امنیتی در اسناد و مدارک و بهره‌گیری از فن‌آوری‌های نوین در ایمن‌سازی و پیش‌گیری از جعل اسناد می‌باشد‎.‎ایجاد چک‌های بانکی به‌‌صورت دیجیتالی و ایمن و جلوگیری از جعل اطلاعات چک با دو چالش مهم خطا و امنیت مواجه است. در این پایان‌نامه با به‌کارگیری امضای دیجیتال براساس خم‌های بیضوی، امضای دیجیتالی از تمام اطلاعات چک تولید می‌شود. با قراردادن این امضا به‌عنوان نهان‌نگاری مقاوم در مولفه‌های آبی رنگ تصویر و در فرکانس‌های میانی دامنهDCT تلاش شده اطلاعات چک ایمن و مقاوم باقی بمانند. هم‌چنین رمزنگاری ‎AES و نگاشت‌ لجستیک نیز جهت افزایش امنیت اطلاعات نهان‌نگاری به‌کار برده می‌شوند. ‎به‌علاوه قرار دادن اطلاعات نهان‌نگاری شکننده و بازسازی این اطلاعات برای بررسی عدم دستکاری مولفه‌های قرمز رنگ تصویر با استفاده از رمزنگاری و رمزگشایی خم بیضوی و در دامنه فضایی صورت می‌گیرد. ‎در زمان انتقال اطلاعات، به‌واسطه وجود نویز و تداخل ممکن است اطلاعات دست‌خوش خطا شوند. در این پایان‌نامه با استفاده از کدهای BCH(31‎, 16)‎امکان تصحیح تا سه خطای احتمالی فراهم شده است. ‎تولید امضای دیجیتال با استفاده از نرم‌افزار سیج انجام می‌شود و قرار دادن اطلاعات نهان‌نگاری و بازسازی این اطلاعات با استفاده از نرم‌افزار متلب پیاده‌سازی می‌شود.

در این پایان نامه دینامیکهای یک مدل عمومی کنش- انتشار شکار- شکارچ? مورد بررس? قرار م?گ?رد. به منظورتع??نمحدودههایپارامتریکهدرآنهاالگوهایفضا??تشک?لم?شوند،وجودوعدموجودجوابهای حالتتعادلمثبتغ?رثابتنشاندادهم?شود. انشعاباتجوابهایتناوب?بهطورفضا??همگنوغ?رهمگنبه همراهجوابهایحالتتعادلغ?رثابتن?زموردبررس?قرارم?گ?رند.

  در این پایان‌نامه به مقایسه زیرجبرها و ایده‌آل‌های آبلی از بیشترین بعد در کلاس‌هایی از جبرهای لی از بعد متناهی ‎‎ می‌پردازیم. زیرجبرهای بیشین آبلی از جبرهای لی حل‌پذیر را مشخص کرده و جبرهای لی حل‌پذیر که دارای یک زیرجبر آبلی از هم‌بعد ‎$2$‎ هستند را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. همچنین نشان می‌دهیم جبرهای لی پوچ‌توان که دارای یک زیرجبر آبلی از هم‌بعد ‎$‎، ‎$2$‎ یا ‎$3$‎ می‌باشند، شامل یک ایده‌آل آبلی با بعد برابر با آن زیرجبر آبلی‎ نیز هستند.\\\\‎در ادامه ساختار جبرهای لی که دارای یک زیرجبر بیشین مغز آزاد هستند را بررسی کرده و مفهوم تاج و پیش‌تاج را برای یک فاکتور اصلی بیان می‌کنیم.

رمزنگاری دی ان ای شاخه ای جدید از رمزنگاری با بهره گیری از دی ان ای به عنوان یک حامل اطلاعاتی و محاسباتی و به کمک تکنیک ملکولی است. بس?اری ازالور?تمهایجد?درمزنگاری،بهطورکامل?اتاحدیشستهشده اندوجهان امن?ت DNAاط?عاتبرایمحافظتازدادههاوانتقالآنهادرمس?ریجد?دبهنظرمرسد.محاسبات درزم?نهیرمزناریبهعنوانام?دتازهایبرایالور?تمهاینشنمطرحشدهاست. درا?نپا?اننامهدوروشبرایتول?دامضاید?ج?تالباا?نمحاسباتراشرحوموردبررسقرار با?کل?دمتقارنطراحشدهXORوعملDNAمده?م،اول?نروشبااستفادهازکدگذاری استفادهمکند.RSA،واکنشزنج?رهایپل?مرازورمزناریDNAاستوروشدومازکدگذاری

  امنیت یکی از ارکان موجودات زنده و احساس امنیت یکی از اساسیترین نیازهای نوع بشر است. امروزه با گستری وسایل ارتباطی و حجم اطلاعات مبادله شده در شبکههای رایانهای و همچنین توسعه و پیشرفتهای صنعت مخابرات ند رسانه ای، مفهوم مخابرات تصویری متحول شده است. امنیت رسانه های دیجیتال یکی از مسائل مهم و مطرا جامعه رمزنگاری در دنیای امروز است. با توجه به کاربرد روزافزون رایانه و گستری زیرساخت های ارتباطی مثل شبکههای سیار و اینترنت، حفظ محرمانگی و تایید صحت تصاویر روز به روز اهمیت بیشتری مییابد. با توجه به کاربرد روزافزون اینترنت و افزایش حجم اطلاعات مبادله شده، حفظ امنیت و تایید صحت مخابره شده که میتواند کاربردهایی در امور تجاری، نظامی و حتی پزشکی داشته باشند نیز روز به روز اهمیت بیشتری میابد. در جهان دیجیتال امروزی امنیت تصاویر دیجیتال بیش از پیش اهمیت پیدا کرده است. در سالهای اخیر سرعت زیادی در رشد انتقال تصاویر دیجیتال از طریق کامپیوتر بویژه اینترنت صورت گرفته است.به عنوان مثال ما در این پایاننامه از یک روی رمزنگاری تصویر صحبت میکنیم که در امور پزشکی که مرتبط با عکسبرداری از بیماران میباشد و همچنین صحت و امنیت اطلاعات بیمار از اهمیّت بالایی برخوردار است، استفاده میشود. این روی از رمزنگاری مبتنی بر میدان گالواست و ما آن را به طور کامل پیادهسازی کرده و علاوه بر بیان نقاط ضعف آن، راهی برای بهبود کارایی این روی را بیان میکنیم