In this thesis, first we examine the existence of a sequence of weak solution for the non-local equation of the following fraction\\ ‎‎\begin{cases}‎‎‎M\Big(\iint‎‎‎‎_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{\vert u(x)‎ -u (y)\vert^{p}}{\vert x‎ - ‎y\vert^{N+ps}}dxdy\Big)‎(-\Delta)_{p} ‎^{s}u(x)=f(x,u)‎\qquad‎\qquad ‎in‎\qquad‎\Omega,\\‎  ‎‎‎ ‎u=0‎\qquad‎\qquad‎\qquad‎\qquad‎\qquad‎\qquad‎\qquad‎\qquad‎‎\qquad‎‎\qquad‎ ‎in‎\qquad‎‎‎\mathbb{R‎^{N}‎}‎‎\backslash\Omega, ‎‎‎\end{cases}‎‎‎‎\\‎where ‎$ ‎\Omega ‎$‎ ‎is ‎an ‎open ‎bounded ‎subset ‎of‎ ‎$ ‎\mathbb{R‎^{N}‎} ‎$‎ ‎with ‎Lipshcitz ‎boundary‎ ‎$ ‎\partial‎\Omega‎ $‎,‎‎ ‎$ (-‎\Delta)‎_{p}‎^{s}‎‎‎ $ ‎is ‎the ‎fractional ‎p-Laplacian ‎operator ‎with‎ ‎$ 0<  lt;1<  lt;N $ ‎such ‎that ‎‎‎$   lt;N $‎,‎‎ ‎‎$ M $ ‎is a‎ ‎continuous ‎function ‎and‎ ‎$ f $ ‎is a ‎‎Carat‎‎heodory ‎function ‎satisfying ‎the ‎Ambrosetti-Rabinowitz-type ‎condition‎. When ‎$ f $ ‎satisfies ‎the ‎suplinear ‎growth ‎condition,we ‎obtain ‎the‎ existence of a sequence of nontrivial solutions by using the symmetric mountan pass theorem; when ‎$ f $ ‎satisfies ‎the ‎sublinear ‎growth ‎condition, ‎we ‎obtain ‎infinitely ‎many ‎pairs ‎of ‎nontrivial ‎solutions ‎by ‎applying ‎the ‎Krasnoselskii ‎genus ‎theory. ‎Our ‎results ‎cover ‎the ‎degenerate ‎case ‎in ‎the ‎fractional ‎setting: ‎the ‎Kirchhoff ‎function‎ ‎$ M $ can be zero at zero. ‎Using Mountain pass theorem we prove the existence of infinitely many solutions for the above problem. Then we discuss the existence of infinitely many solutions for fractional equations with sign changing nonlinear terms via varational methods in fact if the nonlinear terms are sign changing and satisfy p-supper growth, we obtain the existence of infinitely many solutions for boundary value problems driven by fractional p-Laplacian.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎\\‎‎\textbf{Keywords:} \\‎‎\textit{Fractinal p-Laplacian‎, Kirchhoff problems‎, Differential operator‎, Mountain pass Theorem‎, Nonlocal operator‎, Variational methods‎, Weak solution‎ }‎\end{latin}‎

  چکیده دراین پایان نامه بااستفاده ازروش های تغییراتی وقضیه گذرکوهی وجوددوجواب نابدیهی در فضای سوبولف وزن داررابرای رده ای ازمعادلات بیضوی مرتبه چهارم بافرض آن که قسمت غیرخطی تفکیک شده پیوسته وبارشدبحرانی می باشدوتابع پتانسیل درآن دربی نهایت ناپدیدمی شود،بررس می  کنیم.سپس بااستفاده ازنظریه نقطه بحرانی وقضیه گذرکوهی ومینیمم سازی موضعی وجوددو جواب نابدیهی رابرای مسائل بیضوی مرتبه چهارم باقراردادن شرط آمبروسیتی رابین اویتزبرروی قسمت غیرخطی وتابع پتانسیل شیب دار،مطالعه میکنیم وسرانجام به عنوان یکاربرد،نتایج مشابه وپدیده تمرکزرابرای دومی نمعادله بیضوی باغیر خطی های مقعرومحدب ارائه می دهیم.کلمات کلیدی: معادله بیضوی مرتبه چهارم،غیرخطی مرکب،روش های تغییراتی،پدیده تمرکز،غیرخطی مقعر و محدب،رشدبحرانی

  درا?نپا?ان نامهابتداوجودوتعددجواب هایمثبتدسته ایازمعاد?تازنوعک?رشهفشاملقسمتغ?رخط? مقعر و محدب موردبررس? قرارم? گ?رد. سپس وجودجواب های مثبتدسته ای ازمعاد?ت ک?رشهفدارای قسمتغ?رخط?بارشدبحران?،موردمطالعهقرارم? گ?رد. برایاثباتنتا?جذکرشدهازروشمن?فلدنهاری واصلتغ??رات?اکلنداستفادهم? شود،ابتداثابتم? شودکهم?ن?مم هایموضع?تابعکانرژینقاطبحران?آن م? باشند.سپسبااستفادهازنقاطبحران?نگاشت هایتاریمن?فلدنهاریبهسهز?رمجموعهتقس?مشدهونشان دادهم? شودکهتابعکانرژیدارایدوم?ن?ممموضع?درا?نز?رمجموعه هام? باشد.

درا?نپا?اننامه،بهمطالع?مسئل?اخت?ارمعام?تآمر?ا?تحتروشهاوشرا?طمتفاوتمپرداز?م. ابتداارزشگذاریاخت?ارفروشآمر?ا?تحتمدلتعو?ضرژ?م)براساستبد?لپ?شثابتومحاسب? مرزتوقفبه?نه(راب?انمکن?موبامحاسب?مرزتوقفبه?نه،جوابپا?داربدستخواه?مآورد.در واقعا?نجواببهتر?نق?متدرکمتر?نزمانممناستودرمقا?سهباروشهاید?ردارای سازگاریمناسبمباشد. سپسبالحاظپارامترهایگو?اتحتمدلتعو?ضرژ?مواعمالروش تفاضلمتناهوزندار،مسئلهموردنظرراگسستهسازیکردهوشرا?طپا?داریومثبتبودنمسئل? اخت?ارمعام?تآمر?ا?رادوبارهموردبررسقرارمده?م. باوجودپارامترهایگو?اوالور?تم توماس،محاسباتراسادهترمکن?مونشانمده?مکهآنال?زعددیدرپا?داریوسازگاریجوابها موثراست.درنها?تبااستفادهازروشتفاضلمتناهبرایمعاد?تد?فرانس?ل،مشتقاتکسری فضاوزمانراهمزماندرنظرمگ?ر?م. بها?نمنظوربهمعرف?طرحضمنجهتمتناوبو روشباقماند?م?ن?مالمپرداز?م.همچن?ن?پ?ششرطراارائهکردهودقتروشراتامرتب?دوم محاسبهمکن?م.

درا?نپا?اننامهبهبررسروش هایعددیبرایحلمسئلهارزش گذاریاخت?ارمعاملهفروشآمر?ا??م پرداز?م وروش هایعددیکارآمدیرابرایا?نمنظورارائهم ده?م. برخ?فاخت?ارمعاملهاروپا??،ارزشاخت?ارمعامله صدقم کند. ابتدامسئلهمملخطرابهوس?له?جملهپنالت1(LCP)آمر?ا??در?مسئلهمملخط با?معادلهد?فرانس?لجزئکسریغ?رخطتقر?بم زن?موجواب هایا?نمعادلهرابااستفادهازروش تفاضل وروش3(LTM)د?ریرابااستفادهازدوروشتبد?ل?پ?سLCP بدستم آور?موسرانجام2(FDM)متناه تفاضلمتناه،موردبررسقرارم ده?موا?نروش هاراباارائهمثال ها??با?د?رمقا?سهم کن?م.بنابرا?نهدف ا?نمجموعهارائهروش ها??برایارزش گذاریاخت?ارمعاملهفروشآمر?ا??است.

فرض کنید $ R $ یک حلقه‌ی شرکت‌پذیر یک‌دار و $ M $ یک مدول یکانی باشد. در این پایان‌نامه رادیکال جیکوبسن $ M $ به اختصار با$ rad(M) $ نشان داده می‌شود. همچنین نماد $ N\\subseteq^{ess} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ در $ M $ اساسی است و نماد $ N \\subseteq^{\\oplus} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ یک جمعوند مستقیم از $ M $ است. حلقه‌ی درون‌ریختی $-R$ مدول راست $ M $, یعنی $ End(M) $, با $ S $ نشان داده می‌شود. $ M $ را یک مدول $ C_1 $نامند هرگاه هر زیرمدول از آن در جمعوند مستقیمی از $ M $ اساسی باشد. $ M $ را یک مدول $ C_2 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که $ A \\simeq B $ و $ B \\subseteq^{\\oplus} M $, آن‌گاه $ A \\subseteq^{\\oplus} M $.$ M $ را یک مدول $ C_3 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که   $ A \\subseteq^{\\oplus} $, $ B \\subseteq^{\\oplus} M $ و $ A \\cap B =o $, آن‌گاه $ A \\oplus B \\subseteq^{\\oplus} M $. هدف ما در این پایان‌نامه معرفی و بررسی مدول‌های $ C_3 $ است. نشان داده می‌شود که برای $ 1 \\leq i \\leq 3 $ یک جمعوند از مدول $ C_i $, باز هم یک مدول $ C_i $ است. با وجود این‌که لزومی ندارد مدول $ C_3 $ مدول $ C_2 $ باشد, نشان داده شده است که اگر $ A_{1} \\oplus A_{2} $ یک مدول $ C_3 $ باشد آن‌گاه یک نسبت مدول $ C_2 $ بودن بین $ A_{1} $ و $ A_{2} $ وجود دارد.

این پایان نامه به بررسی پایداری و انشعابات دو سیستم از معادلات دیفرانسیل عادی مسطح می پردازد که مدل هاییاز یک سیستم شکار - شکارچی و بیماری های همه گیر هستند. ثابت می شود که مدل شکار - شکارچی متحملچندین انشعاب می شود، این انشعابات از نظر زیست شناختی حائز اهمیت بوده و به طور خاص انشعاب گره - زینو انشعاب هم بُعد 2بوگدانوف - تاکنز می تواند منجر به تغییرات اساسی در دینامیک های این سیستم شوند.در مدل ، SIRثابت می شود که تحت شرایطی خاص این مدل متحمل انشعابات عقب گرد و هاپف است.

پایان نامه ارشد(6واحدی)