در این پایان نامه، یک مدل شکارچی-شکار با دفاع القایی و بیماری در شکار که از دیدگاه تکامل زیستی و اکو-اپیدمیولوژی ساخته شده است، مورد مطالعه قرار می‌گیرد. هدف اصلی این پایان نامه بررسی تاثیر بیماری بر پایداری جمعیت در مدل شکارچی-شکار با دفاع القایی است. ابتدا، مثبت بودن و کرانداری یکنواخت جواب‌های مدل اشاره شده اثبات می‌شود. سپس، وجود و پایداری نقاط تعادل، بخصوص نقاط تعادل همزیستی شکار و شکارچی مورد مطالعه قرار می‌گیرد. در این مدل حداکثر نه نقطه تعادل وجود دارد. از یک تبدیل پارامتری پیچیده برای بررسی ویژگی‌های نقاط تعادل همزیستی مدل استفاده می‌کنیم. همچنین شرایط کافی برای وجود انشعاب هاپف بدست می‌آید. برای تحلیل انشعاب هاپف و تعیین جهت سیکل‌های حدی در مدل شکارچی-شکار با دفاع القایی و بیماری، ضریب اول لیاپانوف در مقادیر بحرانی پارامتر انشعاب محاسبه می‌شود. در خاتمه شبیه‌سازی‌های عددی برای تکمیل نتایج تحلیلی انجام می‌شود  

در این پایان نامه، ما یک مدل اپیدمی چندگروهی از نوع SAIRS را با واکسیناسیون مطالعه می کنیم. نقش افراد عفونی بدون علامت و علامت دار به صراحت در الگوی انتقال بیماری در بین گروه های که جمعیت در آن ها تقسیم مس شود در نظر گرفته می شود. ما یک تحلیل ثبات سراسری برای مدل ارائه می دهیم. ما ارزش عدد تولیدمثل پایه R0 را تعیین می کنیم و ثابت می کنیم که نقطه تعادل عاری از بیماری به طور سراسری مجانبی پایدار است اگر1 > R0 باشد. در مورد مدل بدون واکسیناسیونSAIRS، ما ثبات مجانب سراسری نقطه تعادل عاری از بیماری را نیز زمانی که 1 = R0 باشد، ثابت می کنیم. علاوه براین، اگر1 < R0 باشد، نقطه تعادل عاری از بیماری ناپایدار است و یک نقطه تعادل بومی منحصربه فرد وجود دارد. ابتدا ما پایداری موضعی مجانبی نقطه تعادل بومی و متعاقبا پایداری سراسری آن را برای دو تغییر از مدل اصلی بررسی می کنیم. در آخر ما شبیه سازی های عددی را برای مقایسه شیوع همه گیری در توپولوژی های شبکه های مخالف ارائه می کنیم.

در این پایان‌نامه به بررسی قضایایی در مورد انشعاب از هسته های یک بعدی و تعمیم هایی از قضیه کرندل-رابینویتز می پردازیم. سپس به کمک قضایای انشعاب از هسته یک بعدی به بررسی انشعاب سیستم های فعال کننده-بازدارنده پرداخته می شود. همچنین اثر انتشار غیرموضعی روی انشعاب ها و شکل گیری الگوهای ناهمگن فضایی در حالتی که سرعت پراکندگی بازدارنده به اندازه کافی کوچک است مورد مطالعه قرار می گیرد. وجود جواب های حالت پایای غیرثابت و وجود ناپایداری تورینگ برای سیستم های غیرموضعی اشاره شده نیز مورد بررسی قرار می گیرد.  

در این پایان‌نامه یک روش عددی کاربردی مناسب، براساس چندجمله‌ای‌های چبیشف ارائه شده است، تا جواب‌های عددی مناسبی را برای حل معادله بیگلی ترویک فراهم آورد.ابتدا ماتریس عملگری مشتق مرتبه کسری بدست می‌آید.سپس با استفاده از این ماتریس عملگری، معادله دیفرانسیل مرتبه کسری به یک سیستم معادله جبری تبدیل شده، که با استفاده از روش عددی نیوتن حل می‌شود.علاوه براین، حداکثر مقدار خطای مطلق از طریق تحلیل خطا بدست می‌آید.   کلمات کلیدی:معادله بیگلی ترویک، چندجمله‌ای‌های چبیشف، روش‌های محلی، مشتق لیوویل کاپوتو.      

در این پایان‌نامه ابتدا به معرفی مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته می‌پردازیم. سپس احکامی در مورد اجتماع و اشتراک مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته ارائه می‌دهیم. با معرفی عضو‌های به‌طور جابه‌جایی بسته، روابطی را میان این عضو‌ها با مجموعه‌های متناهی ددکیند بیان کرده سپس شرط برگشت‌پذیر بودن یک عضو به‌طور جابه‌جایی بسته را بررسی می‌کنیم. همچنین مثال‌های متنوعی را ارائه داده و با ویژگی‌های جدیدی برای زیرمجموعه یک حلقه آشنا می‌شویم و برخی حلقه‌ها مانند حلقه‌های ‎2-‎اولیه را با کمک این مفاهیم بررسی می‌کنیم. همچنین ویژگی‌های مرتبط با مقسوم علیه صفر و برگشت پذیری حلقه‌های جابه‌جایی را مطالعه می‌کنیم. سپس ارتباط حلقه برگشت‌پذیر و حلقه منظم قوی بیان می‌شود.  

  در این پایان نامه یک مدل انگل- میزبان با تابعک پاسخ هالینگII، که در آن انگل ها برای کنترل تهاجم میزبان معرفی شده اند را مطالعه می کنیم. نشان داده می شود که این مدل می تواند متحمل دنباله هایی از انشعاب ها شامل گوشه، کانون، انشعاب بوگدانف- تاکنز تبهگن با هم بعد سه و یک انشعاب هاپف تبهگن با هم بعد حداکثر دو، تحت تغییر پارامترها قرار گیرد. همچنین این مدل دارای دینامیک های غنی مانند وجود حالت های تعادل، مدارهای تناوبی، مدارهای هموکلینک و غیره است. علاوه بر این، یک مقدار بحرانی برای ظرفیت تحمل انگل ها موجود است به طوری که: (الف) وقتی که ظرفیت تحمل انگل کمتر از مقدار بحرانی باشد، میزبان مهاجم همیشه می تواند علیرغم شکارگری انگل باقی بماند، یعنی انگل ها نمی توانند تهاجم میزبانان را کنترل کنند. (ب) وقتی که ظرفیت تحمل انگل از مقدار بحرانی بزرگتر باشد، میزبان مهاجم یا تمایل به انقراض دارد یا به شکل حالت های پایدار چندگانه با مدارهای تناوبی چندگانه بسته به جمعیت اولیه باقی می ماند، یعنی توقف تهاجم و معکوس کردن آن توسط انگل به جمعیت اولیه بیتگی دارد. (ج) در هر دو حالت، انگل همیشه باقی می ماند. همچنین شبیه سازی عددی برای نشان دادن نتایج نظری ارائه شده است.

در این پایان نامه، به بررسی خوش وضعی مسئله کوشی مجرد با تاخیر متناهی با استفاده از خانواده حلال تاخیری می پردازیم. به علاوه بطور مجانبی هم ارزی معادلات تاخیری نیز مورد مطالعه قرار گرفته است.

  درا?نپا?اننامهابتدامفاه?ممقدماتازس?ستم هاید?نام?، معاد?تد?فرانس?ل،س?ستم های ف?ل?پفونگاشتپوانکارهارائهخواهدشد.درفصلدوم?فرماستانداردکهشاملتمامپ?ربندی های ممندرس?ستم هایخطمسطاستدرنظرگرفتهشده،ونشاندادهم شودکهوجود?کانون در?ناح?هبرایبدستآوردنسهس?لحدیتودرتومستقلازد?نام?ناح?هخطد?رکاف درنظرگرفتهشدهاستکهR2است.درفصلسه?س?ستمد?فرانس?لقطعه ایخطناپ?وستهدر اگردارای?مرکز،حق?ق?امجازی،باشددرا?نصورتس?ستمد?فرانس?لبهطورقطعه ایخط ناپ?وستهدارایحداکثردوس?لحدیاست.

  G نسبت به H باشد. اندازه چرمارک دلگادو G از زیرگروه H و گروه متناهی یک G فرض کنیدکه دارای اندازه G شود. مجموعه همه زیرگروه های تعریف می mG(H) = |H||CG(H)| به صورتاست. در G تمام زیرگروه های ای از مشبکه دهیم که زیرمشبکه نشان می CD(G) ماکزیمم هستند را بازیرنرمال است. همچنین اگر G در H باشد آنگاه H   CD(G) کنیم که اگر این پایان نامه ثابت میکه در CD(G ? Cp)   به علاوه. به علاوه CD(G H) = CD(G) CD(K) باشد آنگاه گروه متناهی یک Kکنیم که را بیان می عدد فرد اول است را توصیف کرده و شرایطی یک    و گروه غیر بدیهی یک G آنخودش باشد. نهایتاً به دسته بندی چرمارک دلگادو عضوی از مشبکه تحت آن حاصل ضرب پیچشیآنها با بازه زیر برابر است: چرمارک دلگادو پردازیم که مشبکه گروه هایی می[G/Z(G)] = {   L(G)|Z(G)   H   G}.

  دراین پایان نامه وجود جواب های ضعیف برای یک دستگاه معادلات کیرشهف کسری منفرد و ‎دسته‎ ای از معادلات کیرشهف کسری منفرد با توابع وزن دارای تغییر علامت، با استفاده از روش منیفلد نهاری مورد بررسی قرار می گیرد. ‌‌‌‌‌‌‌‌‌برای اینکار متناظر با نقاط بحرانی نگاشت های تاری، منیفلد نهاری به سه زیرمجموعه تقسیم می شود. به علاوه ثابت می شود تابعک انرژی روی منیفلد نهاری بازدارنده و از پایین کراندار است و مینیمم های موضعی روی منیفلد نهاری نقاط بحرانی تابعک انرژی هستند. سپس با نشان دادن وجود دو مینیمم موضعی روی زیر مجموعه های متناظر با نقاط ماکسیمم و مینیمم نگاشت های تاری، وجود دو نقطه بحرانی برای تابعک انرژی اثبات خواهد شد.

چکیدهدر این پایان‌نامه ابتدا به تعاریف و مفاهیمی از آنالیز و حسابانکسری پرداخته می‌شود. در ادامه با استفاده از قضایای نقطه ثابت مختلفی چون باناخ‏،کراسنوسلسکی‏، شادر‏، لری‌-‌شادر‏، جایگزین غیرخطی لری‌-‌شادر و اوری و پترسونوجود جواب‌های مثبت یک مسئله‌ی مقدار مرزی با شرایط مرزی شامل انتگرال ریمان‌-‌اشتیلیس‏، مورد بررسی قرار می‌گیرد. در پایان نیز وجود و یکتایی جواب‌های یک مسئلهمقدار مرزی انتگرال‌-‌دیفرانسیل از نوع کاپوتو با شرایط مرزی غیرموضعی مورد مطالعهقرار می‌گیرد.   

در این پایان نامه وجود جواب معادلات دیفرانسیل کسری انتقال-انتشار با استفاده آنالیز غیر خطی، روش های تغییراتی و قضیه گذرگاه کوهستانی بررسی می شود

اخیرا یکی از موضوعات مورد علاقه ریاضی­دانان، مطالعه معادلات دیفرانسیل ضربه­ای به خصوص با عملگرهای مشتق کسری( مشتق کسری ریمان- لیوویل و کاپاتو) بوده است به منابع [3-4] رجوع شود. با وجود این وجود مطالعات جزئی روی جواب، یکتایی جواب و پایداری جواب ها برای معادله دیفرانسیل کسری با مشتق هیلفر انجام گرفته است، زیرا که مشتق کسری هیلفر شکل کلی تری از مشتقات کسری ریمان- لیوویل را ارائه کرده است که به صورت خلاصه میتوان آن را یک درونیابی بین مشتق کاپاتو و مشتق ریمان- لیوویل فرض کرد. حال در این پایان نامه، وجود جواب و پایداری معادلات دیفرانسیل کسری ضربه ای با عملگر مشتق کسری هیلفر مورد مطالعه و بررسی قرار خواهد گرفت.

  در این پایان‌نامه به بررسی یک روش تعاملی برای حل مسائل چندمعیاره‌ی گسسته پرداخته می‌شود. در این روش از مقایسه‌های دو به ‌دو میان گزینه‌های موجود، به‌منظور یافتن جواب بهین استفاده می‌کنیم.فرض می‌کنیم ‎ m ‎گزینه،   p‎معیار و یک تصمیم‌گیرنده داریم. تصمیم‌گیرنده به‌صورت ضمنی یک تابع مطلوبیت صعودی و شبه‌مقعر در ذهن خود دارد و خواستار بیشینه‌سازی آن است درحالی‌که ممکن است درک روشنی از مفهوم تابع نداشته باشد. از جمله شرایطی که باید در یک روش تعاملی رعایت شود این است که تعداد پرسش‌ها از تصمیم‌گیرنده کم باشد.به‌این منظور برای رتبه‌بندی گزینه‌ها از مخروط‌های محدب استفاده می‌شود. سپس روشی بر مبنای مخروط‌های دوگان، و در نهایت روشی مبتنی بر الگوریتم‌های تکاملی ارائه می‌گردد. این روش‌ها با کاهش تعداد مقایسه و استفاده از نظر تصمیم‌گیرنده جواب بهین را محاسبه می‌کند.

واژههایکل?دی: مدولتقر?باانژکت?و،جمعمستق?م،مدولباطولمتناه?،مدول?کنواخت،مدول تجز?ه ناپذ?ر،مدولخود-انژکت?و،حلقهتجز?ه ناپذ?ر،حلقهمنظموننو?مان  

هدف اصلی این پایان نامه،  بررسی شرایط کافی است که دینامیک یک میدان برداری محدود شده به منیفلد مرکزی دو بعدی به‌طور تو‎‎‏پولوژیکی با شکافت جهانی انشعاب بوگدانف- تاکنز دوبعدی معادل باشد. سپس‎‎ با استفاده از نتایج به دست آمده در این قسمت به بررسی نوسانات انفجاری و انشعاب‌های مرتبط با آن‌ها در نورون ‏مجموعه‌ی پیش- بوتزینگر پرداخته می‌شود.

در این پایان نامه ابتدا ارتباط بین یک ‎‎g‎‎‏-قاب‌ دقیق و یک پایه‌ی ‎‎g‎‎‏-ریس را بررسی خواهیم کرد.‎ همچنین‎ پایداری یک  ‎‎g‎‎‏-قاب دقیق را برای یک فضای هیلبرت تحت اختلالات‏ بررسی می‌کنیم و نشان خواهیم داد که این ویژگی ‎‎g‎-قاب دقیق برای فضاهای هیلبرت مشابه با ویژگی قاب دقیق معمولی نیست.‎ سپس در مورد ‎‎K-g‎‏ قابها ‎‎در فضای هیلبرت بحث می‌کنیم .  

در این پایان نامه به بررسی مسئله ی تعادل عملگر تعمیم یافته پرداخته شده است ودر ادامه مسئله ی شبه تعادل را مورد بررسی قرار داده وسپس کاربردهای مسئله ی شبه تعادل در مسئله ی شبه بهینه سازی و مسئله ی نابرابری شبه تغییراتی ارایه شده است.

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه برروی دنباله های دوگان K-بسل ومولد های K-بسل در دستگاه های یکانی فضای هیلبرت می باشد.درابتدا مفهوم قاب رابرای فضای هیلبرت معرفی میکنیم،سپس بعد از بررسی ومطالعه خواص قاب ها به معرفی زوج قاب های دوگان متناوب می پردازیم.

در این پایان‌نامه به بررسی وجود جواب‌های غیربدیهی و چندگانه برای برخی از معادلات دیفرانسیل با جملات بحرانی پرداخته می‌شود. ابتدا مقدماتی از آنالیز غیر‌خطی، روش تغییراتی و نظریه نقطه بحرانی که مورد نیاز برای مطالعه وجود جواب معادلات دیفرانسیل می‌باشد آورده می‌شود‎. و در نهایت با استفاده از روش تغییراتی، وجود جواب‌های مثبت برای معادله غیرخطی نوع کیرشهف به‌دست می‌آید.

  در این پایان‌نامه با استفاده از روش‌های تغییراتی، وجود جواب‌های ضعیف دو دسته از معادلات بیضوی مرتبه چهارم روی یک دامنه بی‌کران مورد بررسی قرار می‌گیرد‎. برای این‌کار با استفاده از شرایط در نظر گرفته شده، ثابت می‌شود که تابعک انرژی در شرایط پالیس اسمیل صدق می‌کند. سپس با استفاده از شرط آمبروستی-رابینویتز و قضیه گذرگاه کوهستانی متقارن، وجود دو جواب غیر بدیهی برای معادله مورد نظر ثابت می‌شود. همچنین با استفاده از قضیه لیون، تمرکز جواب‌های غیر بدیهی مورد مطالعه قرار می‌گیرد. به‌عنوان یک کاربرد از نتایج بدست آمده، وجود و تمرکز جواب‌های یک معادله بیضوی با قسمت غیرخطی محدب-مقعر اثبات می‌شود. در نهایت با استفاده از قضیه گذرگاه کوهستانی متقارن، وجود بی‌نهایت جواب ضعیف برای یک دستگاه معادلات از نوع شرودینگر-کیرشهف مرتبه چهارم مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حلقه یکدار ‎$R$‎ پوچ تمیز نامیده می‌شود هرگاه هر عضو را بتوان به صورت حاصل جمع یک عضو خودتوان و یک عضو پوچتوان بیان کرد. در این پایان نامه، حلقه‌های پوچ تمیز روی میدان‌ها به طور کامل مشخص می‌شوند. در واقع ثابت می‌کنیم که برای میدان ‎$F$‎ حلقه ماتریسی ‎$M_n(F)$‎ پوچ تمیز است اگر و تنها اگر ‎$F\\cong \\  {Z}_2$‎. به عنوان کاربردی از این موضوع همه گروه ‌های آبلی که حلقه خودریختی‌های آن حلقه‌ای پوچ تمیز است دسته‌بندی می‌شوند. ‎\\\\‎ برای حلقه جابجایی و متناهی ‎$R$‎، گراف پوچ تمیز ‎$G_N(R)$‎ گرافی ساده است که مجموعه رئوس آن اعضای ‎$R$‎ است و دو عضو ‎$a$‎ و ‎$b$‎ با هم مجاور هستند هرگاه ‎$a+b$‎ عضوی پوچ تمیز باشد. در این پایان نامه، ویژگی‌هایی از گراف پوچ تمیز مثل کمر، مجموعه احاطه‌گر، قطر و غیره مورد مطالعه قرار می‌گیرد.  

  معادلات سهموی دسته مهمی از معادلات دفرانسیل با مشتقات جزئی هستند که در علوم مختلفی از جمله فیزیک،مکانیک و ... کاربرد دارند. از آنجایی که این دسته از معادلات معمولاً جواب دقیق ندارند در سال های اخیر حل عددیاین گونه معادلات بسیار مورد توجه قرار گرفته اند.معادلات برگرز 1 دسته مهمی از این معادلات هستند که در این پایان نامه به ارائه چند روش عددی مبتنی برروش های جداسازی 2 برای حل این دسته از معادلات پرداخته می شود.بدین منظور روش های جداسازی متفاوتی با مرتبه های متفاوت بر روی معادله اعمال می شود و به بررسی نتایج آن هاپرداخته می شود.در ادامه روش های جداسازی مرتبه های بالاتر برای حل معادلات سهموی کلی تر مورد بررسی قرار می گیرند و بهتجزیه و تحلیل این روش ها پرداخته می شود.

در این پایان نامه کرانداری وفشردگی عملگرهای انتگرال ریمان-لیوویل روی فضاهای موری را بررسی می کنیم0مشخصه سازی جواب برای معادله انتگرال آبل بدست اورده وباکمک نتایج قضیه نقطه ثابت وجودیکتایی جواب برای مسئله کوشی ثابت خواهد شد  

این پایان‌نامه به بررسی الگوهای تورینگ در مدل‌های گیرر- ماینهارد می‌پردازد. پایداری نقاط تعادل در سیستم بدون انتشار مورد مطالعه قرار می‌گیرد. بعلاوه، انشعاب هاپف این سیستم به طور دقیق بررسی می‌شود.با افزودن جملات انتشار، نشان داده می‌شود که هم حالت تعادلی پایدار و هم سیکل حدی منشعب‌شده از انشعاب هاپف هردو متحمل ناپایداری تورینگ تحت تاثیر ضرایب انتشار متفاوت می‌شوند. بعلاوه، درهر دومورد شرایط ناپایداری تورینگ ارائه می‌شود.

بررسی اختلال عملگر قاب های باناخ در فضاهای باناخ

فرض کنید ‎$G$‎ گرافی ‎$‎ ‎-n$‎راسی و ‎$‎ -‎m $‎یالی با طیف لاپلاسین ‎$\\mu_1 \\geq \\mu_2 \\geq\\cdots\\geq \\mu_{n-1} \\geq \\mu_n = 0$‎باشد. انرژی لاپلاسین گراف ‎$ G $‎ به ‌صورت ‎$LE =\\sum_{i=1}^n|\\mu_i-\\frac{2m}{n}|$‎ تعریف می‌شود. در این پایان‌نامه، گراف‌هایی که دارای حداکثر چهار مقدار ویژه لاپلاسین متمایز هستند مطالعه می‌شوند. همچنین، ما از این گراف‌ها برای بدست آوردن تعدادی کران بالا و پایین برای انرژی لاپلاسین استفاده می‌کنیم. در دیگر نتایج، به رده‌بندی این گراف‌ها زمانی که دوبخشی یا دارای دقیقاً یک مقدار ویژه لاپلاسین غیر ساده هستند، می‌پردازیم.فرض ‌کنید ‎$ \\sigma $‎ بزرگترین عدد صحیح مثبت باشد، به طوری که ‎$.\\mu_{\\sigma}\\geq \\dfrac{2m}{n}$‎گراف‌هایی که در شرط ‎$ \\sigma =n-1 $‎ صدق می‌کنند رده‌بندی خواهند شد. با استفاده از این مطلب کران‌های پایینی برای ‎$ LE $‎ برحسب ‎$ n $‎ ، ‎$ m $‎ و اولین اندیس زاگرب بدست می‌آوریم.علاوه‌براین، به محاسبه کران بالای ‎$ LE $‎ گراف‌ها برحسب پارامترهای مانند ‎$ n $‎، ‎$ m $‎ ، ماکسیمم درجه، عدد پوششی راسی و عدد بسته درختی می‌پردازیم.در پایان، رابطه‌ای بین انرژی لاپلاسین و شبه انرژی لاپلاسین گراف‌ها می‌یابیم.

  درسالهایاخ?ر،مطالعهیروشهایعددیبرایتقر?بجوابمعاد?تد?فرانس?لرندمکهحل تحل?لبرایآنهاوجودنداردبس?ارموردتوجهپژوهشرانقرارگرفتهاست. درا?نپا?اننامهابتداروشهایعددیچندگامخطتصادفمعرفمشوند،سپسبادرنظرگرفتن فرض?ات?زمبررویمعادلهموردنظرمرتبهخطایموضعا?نروشهامحاسبهخواهدشد.همرا? -پا?داریروشهایچندگامخطارائهشدهاثباتمشوندومرتبههمرا?برایا?نB مس?ریو روشهابهدستآوردهمشوند. ازطرفمدان?مکهبرایتقر?بجوابدستهید?ریازمعاد?تکهبهمعاد?تسختمشهورند با?ستازروشهایعددیضمناستفادهکرد. بد?نمنظوردوروشعددیضمنبرایحلا?ن دستهازمعاد?تارائهمشوند.?ازا?نروشهاروشاو?لرم?ان?نضمنود?ریروشنقطه -پا?داریروشهایفوقن?زآوردهمشود.درانتهاB م?انم?ان?نضمناست.اثباتهمرا?و روشهایعددیب?انشدهبررویچندمدلپزشپ?ادهسازیمشوند

 دراین پایان نامه ابتداقضایایی از فضای سوبولف بیان می شود. سپس وجود جواب های ضعیف نابدیهی برای دسته ای از معادلات شوریدنگر شبه خطی لاپلاس مورد بررسی قرار میگیرد.دراین قسمت ثابت میشود تابعک انرژی در شرط سرامی صدق میکندومعادلع دارای دنباله ای بیکران از مقادیر بحرانی است.

در این پایان نامه ابتدا به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی از آنالیز و حسابان کسری پرداخته میشود. در ادامه با استفاده از قضایای نقطه ثابت مختلفی چون باناخ, کراسنوسلسکی, انقباض غیر خطی, جایگزین لری شادر, وجود و یکتایی جوابهای یک مسئله مقدار مرزی کسری شامل عملگر اردلیای کوبر مورد بررسی قرار میگیرد. در پایان نیز با استفاده از مفهوم اندازه نافشردگی و قضیه داربو به وجود جواب دسته ای از معادلات انتگرال کسری مربعی شامل عملگر اردلیای کوبر, پرداخته میشود.  

در این پایان نامه نخست مفهوم انتگرال کسری ریمانلیویل وانتگرال کسری اردلی کوبر بیان می گردد در ادامه وجود جواب هاب معادلات دیفرانسیل کسری با استفاده از قضایای نقطه ثابت را بررسی می کنیم

این پایان‌نامه به مطالعه خواص و نمایش‌های تحویل‌ناپذیر جبرهای لایبنیز اختصاص دارد. با استفاده از ابزار لی‌سازی برخی از قضایای اساسی نظریه جبرهای لی مثل قضیه انگل، تجزیه لوی و...به جبرهای لایبنیز تعمیم ‎‎می‌دهیم. همچنین ثابت می‌کنیم که هر نمایش تحویل‌ناپذیر یک جبر لایبنیز از نمایش تحویل‌ناپذیر جبر لی نیم‌ساده‌ای که در تجزیه لوی آن جبر ظاهر می‌شود، بدست می‌آید. به عنوان کاربردی از این قضایا نمایش‌های لایبنیتز تحویل‌ناپذیر ‎sl2‎ را مشخص می‌کنیم

در سالهای اخیر متیو فضاهای متریک جزیی وشبه متریک و شبه متریک وزن دار را معرفی کرد . ایشان به ارتباط بین آنها پرداخت وبیان کرد که تحت چه شرایطی میتوان فضای متریک جزیی وشبه متریک را یه یک متر تبدیل کرد. یکی از اهداف پایان نامه این است که با استفاده از یک نوع خاص از انقباض ضعیف معرفی شده توسط چریچ وبا کمک گرفتن از توابع کنترل ناپیوسته قضییه نقطه ثابت باناخ را به فضاهای متریک جزیی گسترش می دهیم.

در این پایان‌نامه، به معرفی مشتقات کسری هادامارد و مطالعه معادلات دیفرانسیل ‏با این نوع مشتقات کسری پرداخته می‌شود و شامل قسمت‌های زیر است : ‎در فصل اول این پایان‌نامه، تعاریف و قضایای مقدماتی از آنالیز کلاسیک و آنالیز غیر خطی و قضایایی از وجود نقاط ثابت عملگرها معرفی می‌شود که در فصل‌های بعدی مورد استفاده قرار خواهد گرفت. در فصل دوم، وجود و یکتایی جواب برای دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری با مشتق هادامارد با استفاده از قضایای نقطه ثابت لری - شاودر و نقطه ثابت باناخ مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در فصل بعدی، وجود و یکتایی جواب‌ها با استفاده از قضیه نقطه ثابت باناخ برای معادله دیفرانسیل کسری ضربه‌ای با مشتق هادامارد مورد مطالعه قرار می‌گیرد.   کلمات کلیدی:   معادلات دیفرانسیل کسری، مشتق کسری هادامارد، قضیه نقطه ثابت باناخ، قضیه لری-شاودر، وجود جواب‌ها.

     در این پایان نامه هدف درونیابی اسپلاین چندجمله ای و غیرچندجمله ای هرمیتی و ارائه روشی برای تعیین مقدار بهینه از پارامترهایی است که خطای می نیمم را در تقریب ایجاد می کنند و از توابع درونیاب مانند سری فوریه ، اسپلاین مکعبی غیرچندجمله ای هرمیتی و اسپلاین مکعبی چند جمله ای استفاده شده است و توابع به عنوان نمونه مانند تابع رانگ را درونیابی کرده است و شبیه سازی عددی تحلیل خطا را در درونیابی اسپلاین مکعبی و غیرچندجمله ای محاسبه می کند.   در بخش دیگر از این پایان نامه تابع اسپلاین غیرچندجمله ای برای حل مسائل مرزی دو نقطه ای و نیز دارای اختلال تکین مورد مطالعه قرار گرفته شده است و از اسپلاین غیرچندجمله ای که به درجه ششم تقلیل می یابد برای حل مسئله مقدار مرزی مرتبه دوم اختلال تکین استفاده شده است. خطا و همگرایی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته شده است و مثال هایی برای نشان دادن کارایی و دقت روش ارائه شده است.  

در‎ این پایان‌نامه‎،‎ ابتدا وجود و تعدد جواب‌های مثبت یک معادله ‎$ ‎N‎ $‎‎-لاپلاسین در ‎$ ‎‎‎‎\\mathbb{R‎}‎‎‎^{N‎}‎ $‎‎‎‎‎ با قسمت غیرخطی منفرد و نمایی را بررسی می‌کنیم. برای‎‎‎‎‎‎‎ اینکار از روش منیفلد نهاری استفاده می‌کنیم. ابتدا ثابت می‌کنیم که مینیمم‌های موضعی تابعک انرژی روی منیفلد نهاری نقاط بحرانی هستند. سپس منیفلد نهاری را به سه مجموعه متناظر با ماکسیمم‌های موضعی، مینیمم‌های موضعی و نقاط زینی نگاشت‌های تاری تقسیم کرده و مینیمم‌های موضعی تابعک انرژی را روی این مجموعه‌ها می‌یابیم. در بخش بعدی این پایان‌نامه وجود یک جواب نابدیهی برای یک دستگاه معادلات ‎$p‎‎‎‎$-‎‎لاپلاسین در یک دامنه کراندار وتحت شرایط مرزی دیریکله را مطالعه می‌کنیم. ‎برای‎ این مساله ثابت می‌کنیم که تابعک انرژی دارای هندسه گذرگاه کوهستانی است، سپس با استفاده از قضیه نقطه زینی رابینویز و یک تعمیم شرط لانسمن-لیزر وجود یک جواب نابدیهی اثبات می‌شود.

  در این پایان نامه، به مطالعه تعداد سیکلهای حدب منشعب شده از طوق های تناوبی دو میدان برداری چند جمله ای تحت اختلالات چندجمله ای مرتبه  n    پرداخته می شود.این مطالعات براساس تخمین تعداد ریشه های انتگرال آبلی و تابع معدل متناظر انجام شده است. یکی از ابزارهای اساسی در محاسبه کران بالای دقیق تعداد ریشه های انتگرال آبلی استفاده از محک چبیشف است. علاوه برا این، در مورد توزیع سیکل های حدی منشعب شده نیز اظهار نظر شده   است.