فرض کنید \\(G\\) یک گراف باشد. شاخص زاگرب اول به عنوان مجموع مربع‌های درجات رئوس \\(G\\) تعریف می‌شود؛ همچنین شاخص زاگرب دوم، مجموع حاصل‌ضرب درجات رئوس مجاور است. هدف اصلی این پایان‌نامه، توصیف کامل درخت‌های با \\(k \\geq 1\\) راس مشخص، که دارای درجه ماکسیمم ثابت \\(\\Delta \\geq 3\\) هستند، با توجه به ماکسیمم و مینیمم مقادیر شاخص‌های زاگرب می‌باشد. در میان دیگر نتایج، ساختار درخت‌های اکسترمال و کاربردهای آن‌ها را در خانواده درختان شیمیایی مطالعه می‌کنیم.  

در این پایان نامه، یک مدل شکارچی-شکار با دفاع القایی و بیماری در شکار که از دیدگاه تکامل زیستی و اکو-اپیدمیولوژی ساخته شده است، مورد مطالعه قرار می‌گیرد. هدف اصلی این پایان نامه بررسی تاثیر بیماری بر پایداری جمعیت در مدل شکارچی-شکار با دفاع القایی است. ابتدا، مثبت بودن و کرانداری یکنواخت جواب‌های مدل اشاره شده اثبات می‌شود. سپس، وجود و پایداری نقاط تعادل، بخصوص نقاط تعادل همزیستی شکار و شکارچی مورد مطالعه قرار می‌گیرد. در این مدل حداکثر نه نقطه تعادل وجود دارد. از یک تبدیل پارامتری پیچیده برای بررسی ویژگی‌های نقاط تعادل همزیستی مدل استفاده می‌کنیم. همچنین شرایط کافی برای وجود انشعاب هاپف بدست می‌آید. برای تحلیل انشعاب هاپف و تعیین جهت سیکل‌های حدی در مدل شکارچی-شکار با دفاع القایی و بیماری، ضریب اول لیاپانوف در مقادیر بحرانی پارامتر انشعاب محاسبه می‌شود. در خاتمه شبیه‌سازی‌های عددی برای تکمیل نتایج تحلیلی انجام می‌شود  

در این پایان‌نامه، حلقه‌هایی را بررسی می‌کنیم که روی آن‌ها هر مدول دارای خاصیت هم-درون‌بر است. مدول راست $M$ را یک مدول هم-درون‌بر می‌نامند، اگر برای هر زیرمدول سره $N$ از $M$، یک هم‌ریختی ناصفر $\\varphi: N \\to M$ وجود داشته باشد. ما حلقه‌هایی را بررسی می‌کنیم که در آن‌ها، همه‌ مدول‌ها هم-درون‌بر باشند. همچنین بررسی خواهیم کرد که حلقه $R$ یک حلقه به‌طور کامل هم-درون‌بر راست (چپ) است اگر و تنها اگر با حاصلضرب متناهی از حلقه‌های کامل موضعی یکریخت باشد. %همچنین، چندین کلاس از مدول‌ها روی حلقه‌های نوتری چپ معادل هستند. ما نشان می‌دهیم که: %روی حلقه نوتری چپ $R$، حلقه $R$ نیم‌آرتینی چپ و $V$-حلقه چپ است اگر و تنها اگر $R$ یک حلقه به‌طور کامل هم-درون‌بر باشد.   

در سراسر این پایان نامه حلق? $R$ یک حلق? جابجایی نوتری موضعی با ایده‌آل ماکسیمال $\\mathfrak{m}$ است. فرض کنید $\\mathfrak{a}$ و $\\mathfrak{b}$ ایده‌آل‌های پارامتری از $R$ باشند به قسمی که $\\mathfrak{a}\\subseteq\\mathfrak{b}$. \\textbf{دیوید ریس }\\LTRfootnote{David Rees} ثابت کرده است هرگاه $R$ کوهن-مکالی باشد $\\Hom_R(R/\\mathfrak{a},R/\\mathfrak{b})\\cong R/\\mathfrak{a}.$ همچنین $\\Hom_R({R}/\\mathfrak{a},R/\\mathfrak{b})$ یک ${R}/\\mathfrak{a}$-مدول آزاد با رتب? 1 است. اکنون فرض کنید $M$ یک $R$-مدول متناهی مولد باشد. هدف ما در این پایان‌نامه بررسی و مطالع? ساختار همریختی‌های مدولی $\\Hom_R(R/\\mathfrak{a},M/\\mathfrak{b} M)$ می‌باشد که در آن $M$ یک $R$-مدول کوهن-مکالی نیست. بررسی و تحلیل قضیه‌ها و نتایج را از بُعدهای کوچک شروع می‌کنیم و سپس به بُعدهای بالاتر تعمیم می‌دهیم.  

امروزه ظهور مدل­های مولد مبتنی بر یادگیری ماشین، کاهش قابل توجهی را در نرخ بیت رمزواره‌[1]های گفتاری فراهم نموده است. با این حال، در شرایط واقعی و در حضور عوامل مخربی نظیر نویز و اعوجاج، فرآیندهای فوق با مشکلات جدی مواجه می­شوند که این امر ناشی از حساسیت معیار حداکثر مقدار شباهت به نقاط پرت و نیز ناکارآمدی مدل­سازی مجموع سیگنال­های مستقل با به کارگیری مدل اوتورِگرِسیو می­باشد . در این پایان نامه روشی مبتنی بر منظم‌سازی واریانس پیش‌بینی‌کننده را معرفی می‌شود تا با استفاده از آن حساسیت به موارد پرت را کاهش داده و در نتیجه کارکرد سیستم را افزایش دهیم. به­علاوه نشان داده می­شود که کاهش نویز برای حذف سیگنال­های ناخواسته می­تواند کارکرد را به طور قابل توجهی افزایش دهد. همچنین ارزیابی­های هدفمند گسترده­ای ارائه خواهد شد که نشان می­دهد سیستم پیشنهادی بر پایه­ی مدل مولد، حالت کارکرد کدگذاری نوینی را برای سیگنال­های گفتاری زمان واقعی در   3 کیلوبیت بر ثانیه ارائه می­کند. [1] Codec   

در این پایان‌­نامه گراف جابه‌جایی‏، گراف توانی و گراف توانی پیشرفته گروه ‎ ‎G‎ ‎‏ ‏را مطالعه می‌کنیم که به ترتیب با ‎Com (G)‎‎ ‎‏‏، ‎P‎ow (G)‎‎ ‎‏‏‏ و ‎ Epow‎ (G)‎‎ ‏‏‏ نشان داده می‌شوند.‎‏‎‎ ‎بعلاوه‎ ‎گراف جدیدی را معرفی می‌کنیم که گراف جابه‌جایی عمیق گروه‎G‎ ‎‏‎‎ ‎نامیده‎ می‌شود. مجموعه رئوس این گراف‌ها اعضای ‎ ‎G‎ ‎‏ هستند و دو عضو ‎ ‎x,y ‎‎‎ ‎‏ در گراف جابه‌جایی عمیق مجاورند اگر پیش تصویر این اعضا در هر توسیع مرکزی از ‎ ‎G‎ ‎‏ جابه‌جا شوند.‎‎‏‎ثابت می‌شود که گراف جابه‌جایی عمیق‏، بین گراف جابه‌جایی و گراف توانی پیشرفته قرار دارد. :کلمات کلیدی‎گراف جابه‌جایی عمیق‏‎‎‎‎‎‏‏، ضربگر شور‎‎‎‎‏‏، توسیع مرکزی.   

  مدولهای درون منظم موضوع بسیاری از مقالات در طول شصت سال گذشته بوده که فوچز این سوال را مطرح کرد که کدام گروه آبلی درون منظم هستند. گلاز و ویکلس در [19[ و رنگسومی در [30 [به این سوال برای طبقات بزرگی از گروههای آبلی پاسخ دادند. اما مسئله همچنان باز است. ویر ? در [3? [جز اولین کسانی بود که روی مدول های درون منظم روی حلقه های دلخواه بررسی کرد، او بیشتر بر مدول تصویری تمرکز داشت. لی و همکارانش، بعدها در [23 [تحقیقات کلی تری در مورد مدولهای درون منظم انجام دادند. حلقه های منظم یکه یکطرفه و مدولهای درون منظم یکه یکطرفه، برای اولین بار توسط ارلیچ در [10 ،11 [مورد مطالعه قرار گرفت. لی و ژانگ در [38 [در مورد این موضوع توضیح دادند. همچنین مدولهای درون منظم قوی توسط لی و همکارانش در [23 ،38 [مورد بحث قرار گرفتند که این مدول ها را “مدولهای درون منظم آبلی” نامیدند. [همچنین گلاز و ویکلس در [19 ،([نتایجی در مورد ایده آل درون منظم(برای مثال، گروه های آبلی ) ثابت کرد. در مطالب پیش رو هدف بررسی سه مورد خواهد بود. ابتدا چندین نتیجه کلی در مورد اشکال مختلف “درون منظم” را ثابت خواهیم کرد، که بر تئوری توسعه یافته قبلی بسط داده شده است. سپس بسیاری از نتایج شناخته شده در مورد “درون منظم” در گروههای آبلی را به مدولها روی حلقه های جابه جایی با طیف نوتری گسترش خواهیم داد. در نهایت تعمیم مفیدی از مدولهای درون منظم (روی حلقه های جابهجایی) را تعریف می کنیم که آن را مدولهای درون منظم ضعیف می نامیم و بسیاری از ویژگیهای این مدولها را بررسی خواهیم کرد

در این پایان‌نامه، به مطالعه جبرهای لایبنیتز پادمرکز (لی-مرکز) و چندین مفهوم مرتبط با این نظریه خواهیم پرداخت. ‎هچنین‎ کران هایی برای بُعد اَبَرمرکز یک جبر لایبنیتز به‌دست آوریم. بعلاوه به بررسی و مطالعه توسیع‌های لی-مرکزی و به‌دست آوردن دنباله دقیق 6 جمله‌ای از گروه‌های لی-همولوژی مرتبط با توسیع‌های لی-مرکزی می‌پردازیم. از این‌رو می‌توانیم توسیع‌های لی-تنه‌ای‏، پوشش‌های-تنه‌ای و لی-توانا جبرهای لایبنیتز را توصیف و بررسی کنیم.  

 در این پایان نامه به بررسی شرایط لازم و کافی برای این که یک حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب باشد پرداخته ایم. فصل اول شامل مفاهیم و تعاریف اولیه می باشد. در فصل دوم حلقه گروه پوچ-تمیز و به طور ضعیف پوچ-تمیز را تعریف می کنیم. هدف اصلی فصل سوم بررسی حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب می باشد.

 در این پایان نامه رابطه بین عمق و عدد نظم ایده آل همگن Iو ایده آل های (I,f)و I:fبه طوریکه f یک فرم خطی یا تک جمله باشد، را بررسی می‌کنیم.

  فرض کنید ‎$G$‎ یک گراف با ماتریس مجاورت ‎$A(G)$‎ باشد. پوچی ‎$\\eta(G)$‎ از ‎$G$‎، تکرر صفر به عنوان یک مقدار ویژه ‎$A(G)$‎ تعریف می‌شود که بخاطر اهمیت آن در شیمی، توجهات زیادی را جلب کرده است. در اینجا, کران‌های بالایی برای ‎$\\eta(G)$‎ مشخص می‌شود. به طور مثال نشان ‌داده‌می‌شود که ‎$\\eta(G) \\leq \\frac{(\\Delta‎- ‎2)n‎ + ‎2}{\\Delta‎- ‎1}$‎ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$G\\cong C_n$ ($n \\equiv 0(\\rm mod 4)$)‎ یا ‎$G \\cong K_{\\Delta‎, ‎\\Delta}$‎. تکرر یک مقدار ویژه ‎$\\lambda$‎ از ‎$A(G)$‎ با ‎$m(G,\\lambda)$‎ نشان داده می‌شود. فرض کنید ‎$\\theta(G) =|E(G)|-|V(G)|‎ +‎1$‎ عدد دوری ‎$G$‎ و ‎$p(G)$‎ تعداد راس‌های آویز ‎$G$‎ باشد. در این پایان‌نامه، ثابت می‌شود که برای گراف همبند ‎$G$‎، ‎$m(G‎, ‎\\lambda) \\leq 2\\theta(G)‎ ‎+p(G)$،‎ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر ‎$G$‎ دور ‎$C_n$‎ باشد و برای ‎$k=1,2,\\ldots \\lceil\\frac{n}{2}\\rceil-1$‎، ‎$\\lambda=2\\cos \\frac{2k\\pi}{n}$‎. ‎\\\\‎ ‎

. فرض کنید یک جبر مثلثی روی یک حلقه ی جابجایی داشته باشیم که یک خود ریختی از جبر مذکور و مرکز آن تعریف شده باشند. فرض کنید طبق آن جبر مثلثی یک نگاشت دو خطی و اثر آن را داشته باشیم. هدف ما توضیح فرمی از آن اثر است که در شرط جابجایی یا همین طور شرط مرکزی صدق کند. به طور دقیق تر، ما این سوال را بررسی می کنیم که چه زمانی اثر ماتریس با شرایط قبلی محض است؟ ما شرایط کافی برای اینکه هر اثر مرکزی از نگاشت دو خطی دلخواه روی یک جبر مثلثی محض باشد را فراهم می کنیم و این نتیجه را برای توصیف اثرهای مرکزی از نگاشت های دو خطی روی جبرهای مثلثی کلاسیک مشخص، اعمال می کنیم.

گروهی از مسایل سخت ، مقدار ویژه­هایشان را در دو خوشه­ی مجزا می­توان گنجاند که یک خوشه­ی آن را قسمت سخت یا سریع و خوشه­ی دیگر را قسمت غیر سخت یا کند گویند. برای حل این دسته از مسایل در این پایان­نامه از تکنیک­های برازش نمایی به خصوصی از جمله گروهی از روش­های رونگ کوتای صریح استفاده می­کنیم که ناحیه­ی پایداری­شان دو قسمت است یک قسمت شامل ناحیه­ی مماس بر محورها در مبدا مختصات و قسمت دیگردرهمسایگی نقطه­ای ثابت چون ? = h?s   می­باشد. در گام بعدی اندازه­ی ناحیه­ی پایداری را به عنوان تابعی از مرتبه و شرط­های برازشی به دست می­آوریم و شرط مرتبه­ی سختی برای مسئله آزمون پروترو و رابینسون را که به کمک آن ضرایب این روش قابل تعیین است، معرفی می­کنیم و در نهایت روش فلبرگ حاصل از روش رونگ کوتای صریح مرتبه ? و ? را به دست می­آوریم و کارایی آن رابا چند مثال عددی مورد بررسی قرار می­دهیم. کلمات کلیدی: مسائل سخت، روش­های رونگ کوتای صریح، برازش نمایی، فاصله در طیف مقدار ویژه  

در این پایان‌نامه ابتدا به معرفی مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته می‌پردازیم. سپس احکامی در مورد اجتماع و اشتراک مجموعه‌های به‌طور جابه‌جایی بسته ارائه می‌دهیم. با معرفی عضو‌های به‌طور جابه‌جایی بسته، روابطی را میان این عضو‌ها با مجموعه‌های متناهی ددکیند بیان کرده سپس شرط برگشت‌پذیر بودن یک عضو به‌طور جابه‌جایی بسته را بررسی می‌کنیم. همچنین مثال‌های متنوعی را ارائه داده و با ویژگی‌های جدیدی برای زیرمجموعه یک حلقه آشنا می‌شویم و برخی حلقه‌ها مانند حلقه‌های ‎2-‎اولیه را با کمک این مفاهیم بررسی می‌کنیم. همچنین ویژگی‌های مرتبط با مقسوم علیه صفر و برگشت پذیری حلقه‌های جابه‌جایی را مطالعه می‌کنیم. سپس ارتباط حلقه برگشت‌پذیر و حلقه منظم قوی بیان می‌شود.  

کدهای خود دوگان و دوری روی حلقه های فروبنیوسی

   برای‎‎‎‎ عدد صحیح ‎‎$‎‎k\\geq 2‎$‎، یک گراف ‎‎$‎‎k‎$‎‎-رز گرافی است شامل ‎‎$‎‎k‎$‎ دور که در یک راس مشترک هستند. در این پایان‌نامه، نشان داده می‌شود که به استثناء دو مثال خاص، این گراف‌های رز توسط طیف لاپلاسین تعیین می‌شوند. سپس ثابت می‌شود که اگر طیف ماتریس لاپلاسین جهانی دو گراف رز یکسان باشد، آنگاه آن دو گراف یکریخت هستند. به یاد هورست ساکس (2016-1927)، با استفاده از قضیه ساکس و یک نتیجه جدید در مورد تعداد تطابق‌‌ها در اجتماع مجزای مسیرها، حالت خاص نتیجه مذکور در مورد ماتریس مجاورت را اثبات می‌کنیم. سپس روش جدیدی برای تعیین دنباله درجات گراف‌های متعلق به یک کلاس هم‌طیف معرفی می‌شود. در دیگر نتایج، ثابت می‌کنیم که تمام گراف‌های ‎‎$‎‎2‎$‎‎-رز، به غیر از یک مورد، توسط طیف لاپلاسین بدون علامت تعیین می‌شوند.

موضوع اصلی این پایان نامه اثبات گویا بودن چند سری روی حلقه گرنشتاین کوتاه می باشد. 

کدهای‎‎ خطی‎ علاوه بر کاربردهایشان در زمینه انتقال اطلاعات و ذخیره‌سازی داده‌ها، دارای کاربردهای خوبی در ترکیبیات و رمزنگاری هستند که به‌عنوان یک کلاس ویژه از کدهای خطی، کدهای خطی مینیمال کاربردهای مهمی در اشتراک‌گذاری مخفی و محاسبه دوبخشی ایمن دارند. کدخطی مینیمال همواره یک موضوع جذاب برای محققان در زمینه‌ی نظریه کدگذاری و رمزنگاری بوده است. آشیخمین و بارگ نشان دادند که شرط ‎‎‎‎‎‎$‎‎‎\\frac{w_{min}}{w_{max}‎}‎‎>‎\\frac{q-‎‎1}{q‎}‎$‎‎‎‎‎ یک شرط کافی برای مینیمال بودن یک کدخطی روی میدان متناهی ‎‎$‎F_q‎$‎ است که در آن ‎‎$‎q‎$‎ توانی از یک عدد اول و ‎‎‎$w_{min}‎$‎‎‎ و ‎‎$‎w_{max}‎$‎ به‌ترتیب کمترین و بیشترین وزن غیرصفر در بین کدکلمات است. اولین هدف این پایان‌نامه، آماده کردن یک شرط لازم و کافی برای مینیمال شدن کدهای خطی روی میدان‌های متناهی است. این شرط به ما کمک می‌کند تا چندین خانواده نامتناهی از کدهای خطی مینیمال با شرط ‎‎‎$‎‎‎\\frac{w_{min}}{w_{max}‎}‎‎\\leq ‎‎\\frac{q-‎‎‎‎1}{q‎}‎‎‎‎$‎ بسازیم. دومین هدف این پایان‌نامه، ساختن خانواده نامتناهی از کدهای خطی مینیمال دوتایی و سه‌تایی ناقض شرط آشیخمین و بارگ است که توزیع وزن آن‌ها نیز مشخص می‌شود.  

  G نسبت به H باشد. اندازه چرمارک دلگادو G از زیرگروه H و گروه متناهی یک G فرض کنیدکه دارای اندازه G شود. مجموعه همه زیرگروه های تعریف می mG(H) = |H||CG(H)| به صورتاست. در G تمام زیرگروه های ای از مشبکه دهیم که زیرمشبکه نشان می CD(G) ماکزیمم هستند را بازیرنرمال است. همچنین اگر G در H باشد آنگاه H   CD(G) کنیم که اگر این پایان نامه ثابت میکه در CD(G ? Cp)   به علاوه. به علاوه CD(G H) = CD(G) CD(K) باشد آنگاه گروه متناهی یک Kکنیم که را بیان می عدد فرد اول است را توصیف کرده و شرایطی یک    و گروه غیر بدیهی یک G آنخودش باشد. نهایتاً به دسته بندی چرمارک دلگادو عضوی از مشبکه تحت آن حاصل ضرب پیچشیآنها با بازه زیر برابر است: چرمارک دلگادو پردازیم که مشبکه گروه هایی می[G/Z(G)] = {   L(G)|Z(G)   H   G}.

  هدف از این پایان نامه مطالعه حلقه هم مورفیک چپ می باشد.عنصر a از حلقه R هم مورفیک چپ نامیده می شود هرگاه عضو b از R وجود داشته باشد به طوری که Ra = l(b) و r(a) = bR

واژههایکل?دی: مدولتقر?باانژکت?و،جمعمستق?م،مدولباطولمتناه?،مدول?کنواخت،مدول تجز?ه ناپذ?ر،مدولخود-انژکت?و،حلقهتجز?ه ناپذ?ر،حلقهمنظموننو?مان  

در این پایان نامه تعمیم قانون  صفر _یک برای نیم گروه های پیوسته ی قوی روی یک فضای باناخ مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین ثابت می شود خانواده های کسینوسی حقیقی نقاط تنهای فضای تمام خانواده های کسینوسی پیوسته قوی کراندار روی یک فضای باناخ دلخواه هستند. به علاوه ثابت میشود اگر کران 1/2 با 1 جایگزین شود همان نتیجه قبلی به دست می آید.

در این پایان ­نامه، کاربرد مدل­ هایبیز ناپارامتری در وظایف پردازش زبان طبیعی مورد مطالعه قرار داده شده­ اند. ابتدا روش ­هایبیز ناپارامتری براساس رایج ­ترین توزیع پیشین یعنی فرایند دیریکله مورد مطالعهقرار گرفته­ اند. سپس نمایش­ های متفاوت از فرایند دیریکله مانند طرح کیسه پولیا،فرایند رستوران چینی و ساختار استیک بریکینگ معرفی شده ­اند. در ادامه به معرفی دو فرایند تولید شده توسط فرایند­های دیریکلهیعنی فرایند­هایدیریکله­ سلسله مراتبی و فرایند­های پیتمن یور پرداخته شده است. در پایان 4 راه­ حلپیشنهادی بیز ناپارامتری در وظایف پردازش زبان طبیعی از جمله تقسیم­ بندی کلمه،استخراج عبارت و صف­ بندی، تجزیه­ مستقل از متن و مدل­سازی زبان ارائه شده ­اند.

فرض کنید ‎$G$‎ گرافی ‎$‎ ‎-n$‎راسی و ‎$‎ -‎m $‎یالی با ماکزیمم درجه ‎‎$‎‎\\Delta‎$‎‎، میانگین درجات ‎‎‎‎$‎‎‎\\overline{d}=‎\\frac{2m}{n‎}‎$‎‎‎ و عدد خوشه‌ای ‎‎$‎‎\\omega‎$‎ باشد که دارای طیف لاپلاسین $\\mu_1 \\geq \\mu_2 \\geq\\cdots\\geq ‎\\mu_{n-‎1} \\geq \\mu_n = 0$‎‎است. برای هر ‎‎$‎‎1\\leq k\\leq n‎$‎ قرار دهید$S_k(G)=\\sum_{i=1}^k\\mu_i$‎. همچنین فرض کنید ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ تعداد مقادیر ویژه لاپلاسین بزرگتر یا مساوی ‎‎$‎‎‎\\overline{d}‎$‎‎ باشد. در این پایان‌نامه، کران‌های پایین و بالایی برای ‎‎$‎‎S_{\\omega-1}‎$‎ و ‎‎$‎‎S_\\sigma‎$‎ بر حسب پارامترهای ‎‎‎‎‎$‎‎m,\\Delta,\\omega‎$‎‎ بدست می‌آیند. به عنوان یک کاربرد از این کران‌ها، کران‌هایی برای انرژی لاپلاسین$LE =\\sum_{i=1}^n|\\mu_i-\\frac{2m}{n}|$‎بدست می‌آوریم که از کران‌های قدیمی‌تر بهتر هستند. در بین دیگر نتایج، گراف‌های آستانه‌ای همبند شناسایی می‌شوند. یک نتیجه از نوع نوردهاوز-گادوم برای ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ نیز اثبات می‌شود. در پایان روابط پارامتر ‎‎$‎‎\\sigma‎$‎ با دیگر پارامترهای گرافی ارائه می‌شوند.  

درا?نپا?اننامهابتدادرفصلاولبهب?انتعاربفمقدماتموردن?ازپرداختهودرفصلدومبهبررس پوچتم?ز R[G] حلقهگروههایپوچتم?زجابهجا?مپرداز?م. درفصلدومثابتمشودکهاگر R[G]،حلقهگروهGو?گروهآبلRپوچتم?زاستون?زبرای?حلقهجابهجا?Rباشدآناه راR?2-گروهتابدارباشدوسپسدرفصلسومGپوچتم?زوRپوچتم?زاستاگروتنهااگر را?گروهدرنظرگرفتهودرموردپوچتم?زبودنحلقهگروههاG?حلقهشرکتپذ?رو?دارو رویحلقههایدلخواهبحثمشودون?زثابتمشود،حلقهگروه،با?2-گروهموضعامتناه R[G] ،اگرR وحلقه G و?حلقهپوچتم?ز،پوچتم?زاست. همچن?نثابتمشودبرایگروه ،?2-گروهاست،ون?زحلقهگروهپوچتوانروی?حلقهدلخواه،Gپوچتم?زباشدآنگاهابرمرکز پوچتم?زاستهرگاهگروهآن?2-گروهوحلقهپوچتم?زباشد.

رح‌های بهینه نقش مهمی در طرح آزمایش‌ها دارند، که به آزمایش‌گر کمک می‌کند با صرف هزینه و مدت زمان کمتری بتواند آزمایش مورد نظر را انجام دهد. برای پیدا کردن طرح‌های بهینه معیارهای بهینگی، که معمولاً تابعی از ماتریس اطلاع فیشر هستند در نظر گرفته می‌شوند. در این پایان‌نامه طرح‌های بهینه برای مدل‌های رگرسیونی با داده‌های فاصله‌ای به‌دست آورده می‌شوند. این داده‌ها در واقع مشاهداتی هستند که به‌طور دقیق قابل اندازه‌گیری نبوده و به‌صورت یک بازه گزارش می‌شوند. در این پایان‌نامه مدل‌های رگرسیون خطی به ‌این داده‌ها برازش داده و طرح بهینه برای آن‌ها به‌دست آورده شده است.

در این پایان‌نامه، دو کران طیفی برای عدد $-k$استقلال گراف مشخص می‌شود. عدد $-k$استقلال گراف، اندازه بزرگ‌ترین مجموعه‌ای از رئوس گراف است که فاصله هردو راس مجاور آن بزرگ‌تر از $k$ باشد. همچنین ساختار گراف‌هایی را تعیین می‌کنیم که برای کران اول بهینه باشند و نشان می‌دهیم که کران دوم نسبت به کران‌های قبلی برای عدد $-k$استقلال گراف مناسب‌تر است. در دیگر نتایج، کران پایینی نیز، برای عدد رنگی و عدد رنگی کسری گراف، ارائه می‌شود که برحسب اینرسی گراف مشخص می‌شود. همچنین گراف‌هایی بهینه نیز، برای این کران‌ها معرفی می‌کنیم. به‌علاوه، ثابت می‌کنیم که این کران، کران پایینی برای عدد رنگی برداری گراف نمی‌باشد. در پایان، چند نتیجه از نوع نتایج نوردهاوس-گادوم بیان و اثبات می‌شود.

حلقه یکدار ‎$R$‎ پوچ تمیز نامیده می‌شود هرگاه هر عضو را بتوان به صورت حاصل جمع یک عضو خودتوان و یک عضو پوچتوان بیان کرد. در این پایان نامه، حلقه‌های پوچ تمیز روی میدان‌ها به طور کامل مشخص می‌شوند. در واقع ثابت می‌کنیم که برای میدان ‎$F$‎ حلقه ماتریسی ‎$M_n(F)$‎ پوچ تمیز است اگر و تنها اگر ‎$F\\cong \\  {Z}_2$‎. به عنوان کاربردی از این موضوع همه گروه ‌های آبلی که حلقه خودریختی‌های آن حلقه‌ای پوچ تمیز است دسته‌بندی می‌شوند. ‎\\\\‎ برای حلقه جابجایی و متناهی ‎$R$‎، گراف پوچ تمیز ‎$G_N(R)$‎ گرافی ساده است که مجموعه رئوس آن اعضای ‎$R$‎ است و دو عضو ‎$a$‎ و ‎$b$‎ با هم مجاور هستند هرگاه ‎$a+b$‎ عضوی پوچ تمیز باشد. در این پایان نامه، ویژگی‌هایی از گراف پوچ تمیز مثل کمر، مجموعه احاطه‌گر، قطر و غیره مورد مطالعه قرار می‌گیرد.  

فرض کنید ‎$G$‎ یک گروه متناهی و ‎$\\gamma(G)$‎و‎$l(G)$‎به ترتیب نشان دهنده تعداد کلاس‌های مزدوجی زیرگروه‌هایغیرپوچ‌توان و تعداد کلاس‌های مزدوجی زیرگروه‌های غیرنرمال غیرپوچ‌توان‎$G$‎باشد. در این پایان نامه ثابت می‌کنیم که اگر گروه ‎$G$‎ حل‌پذیر باشد، آنگاه ‎$\\gamma(G) \\geq 2^{|\\pi(G)|‎ -‎2}$‎و اگر ‎$G$‎ غیرحل‌پذیر باشد، آنگاه ‎$\\gamma(G) \\geq |\\pi(G)|‎ +‎1$‎و‎$l(G) \\geq |\\pi(G)|$‎که در آن ‎$|\\pi(G)|$‎تعداد شمارنده‌های اول مرتبه ‎$G$‎ است. همچنین گروه‌هاییرا که حالت تساوی در آنها صادق است را به طور کامل دسته‌بندی می‌کنیم.

  دستهمهمازروشهایحلمسائلبه?نهسازیچندهدفهروشهایاسالرسازیاست. درا?ن روشهابابهکارگ?ریبرخپارامترها،مسالهبه?نهسازیچندهدفهموردنظربه??اچندمساله تهدفهتبد?لمشود. ازجملهمهمتر?نا?نروشهامتوانبهروشهایمجموعوز?نوم?ن- ماکسوزنداراشارهکرد. مشلعمدها?نروشهاا?ناستکهتع??نپارامترهایمناسبمانند انتخابوزنهامبا?ستدرشروعحلصورتب?ردولچن?نکارین?ازمندنرشعم?قنسبتبه ساختارجوابمسالهاستکهعم?ممنن?ست. (برایمسائلمحدبو MICA)الور?تمتعاملچب?شفاص?حشدهبرایبرنامهر?زیچندهدفه نامحدبموردبررسقرارمگ?رد.ا?نالور?تمبراساسروشچب?شف،روشنفطهمرجعوا?رزب? وروشم?چالوفسوزاپ?رومباشد.درهرترارتصم?مگ?رندهآستانهها?)سطوحازتابعهدف کهبرایتصم?مگ?رندهمطلوبهستندسطوحموردانتظار?انقطهمرجعنام?دهمشود.( بهشل بردارمع?ارنقطهمرجعدرنظرمگ?رد.همچن?نمتواندکمتر?نمقدارقابلقبول)کف(تابعهدف بهعنوانسطوحپذ?رشدرنظرب?رد.?مجموعهازبردارهایوزنساختهمشودکهبااستفادهاز ا?نبردارهایوزنالور?تم?مجموعهازجوابهایکاراتول?دمکند.باتع??نا?نکرانهافضای جواببهز?رمجموعهکوچتریتبد?لمشودکهدرمسائلمحدبجوابکارا?تول?دمشودکه درشرا?طمطلوبصدقمکندامادرمسائلنامحدبلزوماًچن?نن?ست. منظورازنقطهمرجعمعادلنقطهایاستکهباتغ??رنقطهمرجعفعلبهآننقطهجواببه?ن موردنظربدونتغ??رباقبماند.?زمبهذکراستتغ??راتنقطهمرجعبراساسنقطهمرجعقبل،برخ پارامترهایتابعاسالرسازیونقطهنامغلوببهدستآمدهتغ??رمکند.ثابتمشودکهمجموعهنقاط مرجعمعادلبهصورتترک?بمحدبازدوخطاستکه?ازنقطهمرجعفعلود?ریازنقطه نامغلوبحاصلمگذرد. ش?با?نخطوطبراساسمعوسوزنهادرتابعاسالرسازیدست?اب .[21بهدستمآ?د.ا?نفرا?ندبا?مثالعددیکهمبنبردادههایواقعاستشرحدادهمشود]دستهمهمازروشهایحلمسائلبه?نهسازیچندهدفهروشهایاسالرسازیاست. درا?ن روشهابابهکارگ?ریبرخپارامترها،مسالهبه?نهسازیچندهدفهموردنظربه??اچندمساله تهدفهتبد?لمشود. ازجملهمهمتر?نا?نروشهامتوانبهروشهایمجموعوز?نوم?ن- ماکسوزنداراشارهکرد. مشلعمدها?نروشهاا?ناستکهتع??نپارامترهایمناسبمانند انتخابوزنهامبا?ستدرشروعحلصورتب?ردولچن?نکارین?ازمندنرشعم?قنسبتبه ساختارجوابمسالهاستکهعم?ممنن?ست. (برایمسائلمحدبو MICA)الور?تمتعاملچب?شفاص?حشدهبرایبرنامهر?زیچندهدفه نامحدبموردبررسقرارمگ?رد.ا?نالور?تمبراساسروشچب?شف،روشنفطهمرجعوا?رزب? وروشم?چالوفسوزاپ?رومباشد.درهرترارتصم?مگ?رندهآستانهها?)سطوحازتابعهدف کهبرایتصم?مگ?رندهمطلوبهستندسطوحموردانتظار?انقطهمرجعنام?دهمشود.( بهشل بردارمع?ارنقطهمرجعدرنظرمگ?رد.همچن?نمتواندکمتر?نمقدارقابلقبول)کف(تابعهدف بهعنوانسطوحپذ?رشدرنظرب?رد.?مجموعهازبردارهایوزنساختهمشودکهبااستفادهاز ا?نبردارهایوزنالور?تم?مجموعهازجوابهایکاراتول?دمکند.باتع??نا?نکرانهافضای جواببهز?رمجموعهکوچتریتبد?لمشودکهدرمسائلمحدبجوابکارا?تول?دمشودکه درشرا?طمطلوبصدقمکندامادرمسائلنامحدبلزوماًچن?نن?ست. منظورازنقطهمرجعمعادلنقطهایاستکهباتغ??رنقطهمرجعفعلبهآننقطهجواببه?ن موردنظربدونتغ??رباقبماند.?زمبهذکراستتغ??راتنقطهمرجعبراساسنقطهمرجعقبل،برخ پارامترهایتابعاسالرسازیونقطهنامغلوببهدستآمدهتغ??رمکند.ثابتمشودکهمجموعهنقاط مرجعمعادلبهصورتترک?بمحدبازدوخطاستکه?ازنقطهمرجعفعلود?ریازنقطه نامغلوبحاصلمگذرد. ش?با?نخطوطبراساسمعوسوزنهادرتابعاسالرسازیدست?اب .[21بهدستمآ?د.ا?نفرا?ندبا?مثالعددیکهمبنبردادههایواقعاستشرحدادهمشود]

فرض کنید ‎$G=(V(G),E(G))$‎ یک گراف ساده‌ی همبند باشد و داشته باشیم ‎ \\leq k \\leq diam(G)$‎. یک ‎$-k$‎رنگ‌آمیزی رادیویی ‎$L$‎ از گراف ‎$G$‎ نگاشتی به‌صورت ‎$L:V(G) \\longrightarrow \\lbrace 0,1,2‎, ‎\\ldots \\rbrace$‎ است به‌طوری که برای هر دو راس متمایز ‎$u$‎ و ‎$v$‎ از ‎$V(G)$‎ داشته باشیم:‎\\begin{eqnarray}\\label{1(saha)}‎‎\\vert L(u)-L(v) \\vert \\geq k+1-d(u,v)‎.‎\\end{eqnarray}‎که در آن ‎$d(u,v)$‎ فاصله‌ی ‎$u$‎ و ‎$v$‎ را نشان می‌دهد. همچنین ظرفیت یک ‎$-k$‎رنگ‌آمیزی رادیویی ‎$L$‎ که با نماد ‎$span(L)$‎ نشان داده می‌شود عبارت است از:‎$span(L)=\\max _{u \\in V(G)} L(u).$‎علاوه بر این عدد ‎$-k$‎رنگی رادیویی گراف ‎$G$‎ که با نماد ‎$rc_{k}(G)$‎ نمایش داده می‌شود، کمترین طول در‌میان همه‌ی ‎$-k$‎رنگ‌آمیزی‌های ‌رادیوییِ گراف ‎$G$‎ است. یعنی داریم:‎$rc_{k}(G)=\\min_{L} span(L).$‎در این پایان‌نامه کران‌های بالا و پایینی برای عدد ‎$-k$‎رنگی رادیویی گراف دلخواه ‎$G$‎ ارائه می‌شود و در مورد بهینگی این کران‌ها بحث می‌شود.همچنین در بعضی از حالت‌ها شرایط لازم و کافی برای برقراری تساوی این کران‌ها ارائه می‌شود. در ادامه به‌عنوان یک کاربرد، کران‌های پایینی را برای دورها، شبکه‌ها، مکعب‌ها و ضرب دکارتی دورها در مسیرها و گراف‌های کامل به‌دست می‌آوریم. عدد صحیح ‎$h$‎ که ‎$GFN2252_FABSTRACT_XMLENCODE# < h < rc_{k} (G)$‎، حفره‌ای در یک ‎$-rc_{k}$‎رنگ‌آمیزی روی ‎$G$‎ است، هرگاه توسط آن به هیچ راسی اختصاص نیافته باشد. در این پایان‌نامه با استفاده از یک خاصیت ترکیبیاتی مرتبط با ‎$k-1$‎ حفره‌های متوالی در هر ‎$rc_{k}$‎رنگ‌آمیزی از یک گراف، گرافی بزرگ‌تر از یک گراف در کلاسی معین ساخته می‌شود. با بهره برداری از همین خاصیت پارامتری جدید از گرافها ارائه می‌شود که شاخص ‎$-(k-1)$‎حفره‌ی گراف ‎$G$‎ نام دارد و با نماد ‎$\\rho _{k} (G)$‎ نمایش داده می‌شود. همچنین چند خاصیت از ‎$\\rho _{k} (G)$‎ از جمله کران بالای آن و رابطه‌ی آن با عدد پوششی مسیری گراف ‎$\\overline{G}$‎ را بررسی می‌کنیم.

در این پایان‌نامه، به معرفی‏ ساختار کدهای گراسمن می‌پردازیم‏، کدهای ویژه‌ای که توسط واریته‌ی گراسمن ساخته می‌شود. باشرح ساختار آن‌ها کدواژه‌های با کم‌ترین وزن آن‌ها را محاسبه و دسته‌بندی می‌کنیم. در این دسته‌بندی خطوطی که در واریته‌ی گراسمنی صدق می‌کنند نقش ویژه‌ای دارند. ‎\\\\ ‎‎ ‏کدهای‎ وابسته به کدهای گراسمن کدهای آفین گراسمن و دوگان آن‌ها هستند. ‎\\\\‎‎‏‎ با نتایج فوق اثبات می‌شود که یک کد دوگان گراسمن توسط کدواژه‌های با کم‌ترین وزن تولید می‌شوند.

فرض کنید $ R $ یک حلقه‌ی شرکت‌پذیر یک‌دار و $ M $ یک مدول یکانی باشد. در این پایان‌نامه رادیکال جیکوبسن $ M $ به اختصار با$ rad(M) $ نشان داده می‌شود. همچنین نماد $ N\\subseteq^{ess} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ در $ M $ اساسی است و نماد $ N \\subseteq^{\\oplus} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ یک جمعوند مستقیم از $ M $ است. حلقه‌ی درون‌ریختی $-R$ مدول راست $ M $, یعنی $ End(M) $, با $ S $ نشان داده می‌شود. $ M $ را یک مدول $ C_1 $نامند هرگاه هر زیرمدول از آن در جمعوند مستقیمی از $ M $ اساسی باشد. $ M $ را یک مدول $ C_2 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که $ A \\simeq B $ و $ B \\subseteq^{\\oplus} M $, آن‌گاه $ A \\subseteq^{\\oplus} M $.$ M $ را یک مدول $ C_3 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که   $ A \\subseteq^{\\oplus} $, $ B \\subseteq^{\\oplus} M $ و $ A \\cap B =o $, آن‌گاه $ A \\oplus B \\subseteq^{\\oplus} M $. هدف ما در این پایان‌نامه معرفی و بررسی مدول‌های $ C_3 $ است. نشان داده می‌شود که برای $ 1 \\leq i \\leq 3 $ یک جمعوند از مدول $ C_i $, باز هم یک مدول $ C_i $ است. با وجود این‌که لزومی ندارد مدول $ C_3 $ مدول $ C_2 $ باشد, نشان داده شده است که اگر $ A_{1} \\oplus A_{2} $ یک مدول $ C_3 $ باشد آن‌گاه یک نسبت مدول $ C_2 $ بودن بین $ A_{1} $ و $ A_{2} $ وجود دارد.

این پایان‌نامه به مطالعه خواص و نمایش‌های تحویل‌ناپذیر جبرهای لایبنیز اختصاص دارد. با استفاده از ابزار لی‌سازی برخی از قضایای اساسی نظریه جبرهای لی مثل قضیه انگل، تجزیه لوی و...به جبرهای لایبنیز تعمیم ‎‎می‌دهیم. همچنین ثابت می‌کنیم که هر نمایش تحویل‌ناپذیر یک جبر لایبنیز از نمایش تحویل‌ناپذیر جبر لی نیم‌ساده‌ای که در تجزیه لوی آن جبر ظاهر می‌شود، بدست می‌آید. به عنوان کاربردی از این قضایا نمایش‌های لایبنیتز تحویل‌ناپذیر ‎sl2‎ را مشخص می‌کنیم

طیف لاپلاسین (بدون علامت) گراف‌ها به صورت گسترده‌ای مطالعه شده است. ولی مقدار کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت گراف‌ها و کران‌های بالا و پایین آن، کمتر در نظر گرفته شده است. هدف اصلی این پایان‌نامه بررسی و بهینه‌سازی کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت خانواده‌هایی از گراف‌ها است. گراف همبند ‎$G$‎ را تک‌دوری نامند هرگاه تعداد رئوس و یال‌های آن، با هم برابر باشند. اینجا، گرافی که کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامتش در بین تمام گراف‌های تک‌دوری با مرتبه مشخص، بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد تعیین می‌گردد. همچنین روابط بین کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت گراف‌های همبند ‎$n$-‎راسی و عدد استقلال(عدد پوششی) آنها مطالعه می‌شوند. در دیگر نتایج، گراف‌هایی که در بین تمام گراف‌های غیردوبخشی با عدد استقلال حداقل ‎$\\frac{n-1}{2}$‎ یا عدد پوششی حداکثر ‎$\\frac{n+1}{2}$‎، کوچکترین مقدار ویژه لاپلاسین بدون علامت بزرگتری دارند را تعیین می‌کنیم.

در سالهای اخیر متیو فضاهای متریک جزیی وشبه متریک و شبه متریک وزن دار را معرفی کرد . ایشان به ارتباط بین آنها پرداخت وبیان کرد که تحت چه شرایطی میتوان فضای متریک جزیی وشبه متریک را یه یک متر تبدیل کرد. یکی از اهداف پایان نامه این است که با استفاده از یک نوع خاص از انقباض ضعیف معرفی شده توسط چریچ وبا کمک گرفتن از توابع کنترل ناپیوسته قضییه نقطه ثابت باناخ را به فضاهای متریک جزیی گسترش می دهیم.

  در این پایان‌نامه به مقایسه زیرجبرها و ایده‌آل‌های آبلی از بیشترین بعد در کلاس‌هایی از جبرهای لی از بعد متناهی ‎‎ می‌پردازیم. زیرجبرهای بیشین آبلی از جبرهای لی حل‌پذیر را مشخص کرده و جبرهای لی حل‌پذیر که دارای یک زیرجبر آبلی از هم‌بعد ‎$2$‎ هستند را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. همچنین نشان می‌دهیم جبرهای لی پوچ‌توان که دارای یک زیرجبر آبلی از هم‌بعد ‎$‎، ‎$2$‎ یا ‎$3$‎ می‌باشند، شامل یک ایده‌آل آبلی با بعد برابر با آن زیرجبر آبلی‎ نیز هستند.\\\\‎در ادامه ساختار جبرهای لی که دارای یک زیرجبر بیشین مغز آزاد هستند را بررسی کرده و مفهوم تاج و پیش‌تاج را برای یک فاکتور اصلی بیان می‌کنیم.

فرض کنید R ی? حلقه جابجایr نوتری و E همتولید شده انژکتیو مینیمال از رسته R?مدولها باشد. R?مدول M انع?اسr ماتلیس است اگر ن?اشت طبیعr M ?? HomR(HomR(M, E), E) ی? ی?ریختr باشد. در این پایاننامه ثابت مrکنیم که اگر S ی? زیر مجموعه بسته ضربr از R و M ی? R-مدول انع?اسr باشد. آن?اه M ی? Rs?مدول انع?اسr است. ع?س این مطلب وقتr برقرار است که S م?مل اجتماع تعداد متناهr ایدهآلهای اول غیر مینیمال R باشد اما در حالت کلr این موضوع برقرار نیست. فرض کنید (m, R (ی? حلقه موضعr و (m/R(ER = E پوشش انژکتیو میدان خارج قسمتr m/Rو SpecR ? p ی? ایدهآل اول با بعد ی? و (p/R(ER پوشش انژکتیو p/R باشد. به عنوان نتیجه اصلr ثابت مrکنیم دوگان ماتلیس (p/R(ER یعنr (E, p/R(ER(HomR با Rcp ی?ریخت است (Rcp کامل شد?? Rp ( اگروفقط اگر p/R کامل باشد. در حالتr که R حوزه صحیح با بعد ی? است توصیف ? Q بر حسب Rb بیان مrشود، که در آن Q میدان کسرهای R است. R کاملr از Rb کلمات کلیدی: انع?اسr ماتلیس، پوشش انژکتیو، م?مل، حوزهصحیح با بعد ی? ،دوگان ماتلیس، همتولیدشده انژکتیو مینیمال

  در این پایان‌‌نامه، مثالی از یک گراف که ایده‌‌آل پوششی آن در خاصیت پایداری و عمق غیرصعودی صدق نمی‌کند ارائه می‌دهیم. علاوه بر این به بررسی گراف‌های کوهن-مکالی دنباله‌ای (که به‌وسیله افزودن ویسکر ایجاد می‌شوند) می‌پردازیم. سپس جداسازی دورهای کزول را معرفی می‌کنیم، با استفاده از آن یک پایه از رده‌های همولوژی دورهای کزول    ارائه می‌شود (     جداسازی ایده‌آل تک‌جمله‌ای I از حلقه چندجمله‌ای S=K[ , … ,   است)؛ تابع عمق توان‌های ایده‌آل‌های یالی گراف‌های ویسکر را مطالعه خواهیم کرد. همچنین به بیان ارتباط بین مفاهیم اندیس پایداری و اندیس پایداری عمق می‌پردازیم؛ درواقع برای گراف متناهی، ساده و همبند G نشان می‌دهیمdstab(I(G)) < l(I(G))   . کران بالایی برای اندیس پایداری عمق یک درخت تعیین می‌کنیم، برا این اساس نشان می‌دهیم برای هر دو عدد 1 ? a <    یک درخت   موجود است که dstab(I(G)) = a و l(I(G))=b.