فرض کنید  R  یک حلقه‌ی موضعی نوتری و  C  یک  R-مدول نیم­دوگان باشد. در این پروپوزال، ما برخی از نتایج مربوط به صفرشدن  Ext  و بُعد انژکتیو متناهی  Hom  را ارائه می‌دهیم. علاوه بر این، این نتایج را برحسب بُعد-C  انژکتیو  متناهی  Hom  بسط می‌دهیم. همچنین نتایج برخی از این بسط‌ها را در حالتی که  R  کوهن-مکالی و  C  یک مدول کانونی برای  R  است، بررسی می‌کنیم. افزون بر این، ما پاسخی مثبت به حدس اوسلندر-ریتن برای  R-مدول‌های متناهی مولد  M  با شرط    یا      با    ارائه می‌دهیم که در آن    بعد    انژکتیو می‌باشد. هم‌چنین، چندین معیار برای اینکه یک  R-مدول نیم­دوگان  C، یک مدول کانونی برای  R  باشد، براساس صفرشدن  Ext  و بُعد-C  انژکتیو  متناهی  Hom  استنتاج می‌کنیم.

در سراسر این پایان نامه حلق? $R$ یک حلق? جابجایی نوتری موضعی با ایده‌آل ماکسیمال $\\mathfrak{m}$ است. فرض کنید $\\mathfrak{a}$ و $\\mathfrak{b}$ ایده‌آل‌های پارامتری از $R$ باشند به قسمی که $\\mathfrak{a}\\subseteq\\mathfrak{b}$. \\textbf{دیوید ریس }\\LTRfootnote{David Rees} ثابت کرده است هرگاه $R$ کوهن-مکالی باشد $\\Hom_R(R/\\mathfrak{a},R/\\mathfrak{b})\\cong R/\\mathfrak{a}.$ همچنین $\\Hom_R({R}/\\mathfrak{a},R/\\mathfrak{b})$ یک ${R}/\\mathfrak{a}$-مدول آزاد با رتب? 1 است. اکنون فرض کنید $M$ یک $R$-مدول متناهی مولد باشد. هدف ما در این پایان‌نامه بررسی و مطالع? ساختار همریختی‌های مدولی $\\Hom_R(R/\\mathfrak{a},M/\\mathfrak{b} M)$ می‌باشد که در آن $M$ یک $R$-مدول کوهن-مکالی نیست. بررسی و تحلیل قضیه‌ها و نتایج را از بُعدهای کوچک شروع می‌کنیم و سپس به بُعدهای بالاتر تعمیم می‌دهیم.  

در این پایان‌­نامه گراف جابه‌جایی‏، گراف توانی و گراف توانی پیشرفته گروه ‎ ‎G‎ ‎‏ ‏را مطالعه می‌کنیم که به ترتیب با ‎Com (G)‎‎ ‎‏‏، ‎P‎ow (G)‎‎ ‎‏‏‏ و ‎ Epow‎ (G)‎‎ ‏‏‏ نشان داده می‌شوند.‎‏‎‎ ‎بعلاوه‎ ‎گراف جدیدی را معرفی می‌کنیم که گراف جابه‌جایی عمیق گروه‎G‎ ‎‏‎‎ ‎نامیده‎ می‌شود. مجموعه رئوس این گراف‌ها اعضای ‎ ‎G‎ ‎‏ هستند و دو عضو ‎ ‎x,y ‎‎‎ ‎‏ در گراف جابه‌جایی عمیق مجاورند اگر پیش تصویر این اعضا در هر توسیع مرکزی از ‎ ‎G‎ ‎‏ جابه‌جا شوند.‎‎‏‎ثابت می‌شود که گراف جابه‌جایی عمیق‏، بین گراف جابه‌جایی و گراف توانی پیشرفته قرار دارد. :کلمات کلیدی‎گراف جابه‌جایی عمیق‏‎‎‎‎‎‏‏، ضربگر شور‎‎‎‎‏‏، توسیع مرکزی.   

   چکیده: در اواخر قرن بیستم وسایل نقلیه خودران توجه گسترده­ای را به خود جلب کرده­اند و برنامه­ریزی مسیر یکی از مهم­ترین اجزای عملکرد آن است. با این حال، به دلیل استفاده طولانی مدت از جاده­ها و عدم نگهداری، جاده­هایی که وسایل نقلیه باید از آن­ها عبور کنند، ناگزیر دچار فرسایش و شکستگی می­شوند. در این حالت، با توجه به اینکه خودروها با سرعت زیاد از این مناطق آسیب دیده یا دست­اندازها عبور می­کنند، عبور از دست­اندازها یا انحراف از مسیر، ممکن است باعث آسیب به خودرو شود. در این پایان­نامه، یک روش مسیریاب با قابلیت تنظیم سرعت در پرتو تشخیص دست­انداز برای برنامه‌ریزی مسیر خودرو بررسی می­شود   که می‌تواند به طور خودکار سرعت را در مناطق آسیب دیده جاده تنظیم کند. در این روند، ابتدا بر اساس تصویر به دست آمده از محیط جاده، یک الگوریتم پردازش تصویر برای مکان­یابی دقیق دست­انداز ایجاد می­شود. سپس، با توجه به مکان به ‌دست ‌آمده از دست­اندازها و موانع، یک الگوریتم تحت عنوان الگوریتم خفاش-کبوتر (BPA) برای هدایت با تنظیم سرعت وسایل نقلیه بررسی می‌شود. این الگوریتم ترکیبی از الگوریتم بهینه­سازی سراسری کبوتر و الگوریتم جستجوی محلی خفاش است. ترکیب این دو الگوریتم به نحوی است که می­تواند یک الگوریتم با همگرایی سریع­تر نسبت به هر دو الگوریتم بیان شده ارائه نماید. الگوریتم پیشنهادی خفاش-کبوتر، وسیله نقلیه خودران را برای کاهش سرعت در مناطق کوچک آسیب دیده راهنمایی می‌کند و در عین حال مسیری بدون برخورد با کمترین زمان سفر برنامه‌ریزی می‌کند. علاوه بر این، این الگوریتم یک مسیریاب محلی توسعه یافته است که نقشه­های محیطی را به صورت محلی مورد استفاده قرار داده و در عین حال از موانع پویا و ناشناخته اجتناب می­کند. برای تایید مزایای نظری الگوریتم‌های توسعه‌یافته، آزمایش‌های مقایسه‌ای تحت سناریوهای مختلف بررسی می­شوند. شبیه­سازی و مطالعات مقایسه­ای تایید می­کند که الگوریتم­ پیشنهادی به طور موثر ناوبری با قابلیت تنظیم سرعت و نقشه برداری وسایل نقلیه را بر اساس شرایط جاده در سناریوهای مختلف دنیای واقعی انجام می­دهند. کلیدواژه: الگوریتم­های تکاملی، الگوریتم بهینه­سازی خفاش­ها، الگوریتم بهینه­سازی کبوتر­ها، روش وسایل نقلیه خودران رادیویی، الگوریتم ترکیبی خفاش-کبوتر، پردازش تصویر، جستجوی سراسری، جستجوی محلی، محاسبات تکاملی.

در این راستا، ابتدا وجود و یکتایی جواب فرم هایی از معادلات انتگرال-دیفرانسیل غیرخطی مورد بررسی قرار می گیرد. سپس با معرفی روش های کوادراتوری رونگ?کوتا پیچشی به عنوان یک ابزار کارآمد برای تقریب عددی جواب دسته ای از معادلات انتگرال -دیفرانسیل، به تحلیل همگرایی و پایداری این روش ها می پردازیم. در انتها با ارایه ی نتایج عددی متنوع کارایی روش های کوادراتوری رونگ-کوتا پیچشی مورد نقد و بررسی قرار می گیرد.

  مدولهای درون منظم موضوع بسیاری از مقالات در طول شصت سال گذشته بوده که فوچز این سوال را مطرح کرد که کدام گروه آبلی درون منظم هستند. گلاز و ویکلس در [19[ و رنگسومی در [30 [به این سوال برای طبقات بزرگی از گروههای آبلی پاسخ دادند. اما مسئله همچنان باز است. ویر ? در [3? [جز اولین کسانی بود که روی مدول های درون منظم روی حلقه های دلخواه بررسی کرد، او بیشتر بر مدول تصویری تمرکز داشت. لی و همکارانش، بعدها در [23 [تحقیقات کلی تری در مورد مدولهای درون منظم انجام دادند. حلقه های منظم یکه یکطرفه و مدولهای درون منظم یکه یکطرفه، برای اولین بار توسط ارلیچ در [10 ،11 [مورد مطالعه قرار گرفت. لی و ژانگ در [38 [در مورد این موضوع توضیح دادند. همچنین مدولهای درون منظم قوی توسط لی و همکارانش در [23 ،38 [مورد بحث قرار گرفتند که این مدول ها را “مدولهای درون منظم آبلی” نامیدند. [همچنین گلاز و ویکلس در [19 ،([نتایجی در مورد ایده آل درون منظم(برای مثال، گروه های آبلی ) ثابت کرد. در مطالب پیش رو هدف بررسی سه مورد خواهد بود. ابتدا چندین نتیجه کلی در مورد اشکال مختلف “درون منظم” را ثابت خواهیم کرد، که بر تئوری توسعه یافته قبلی بسط داده شده است. سپس بسیاری از نتایج شناخته شده در مورد “درون منظم” در گروههای آبلی را به مدولها روی حلقه های جابه جایی با طیف نوتری گسترش خواهیم داد. در نهایت تعمیم مفیدی از مدولهای درون منظم (روی حلقه های جابهجایی) را تعریف می کنیم که آن را مدولهای درون منظم ضعیف می نامیم و بسیاری از ویژگیهای این مدولها را بررسی خواهیم کرد

در این پایان‌نامه، به مطالعه جبرهای لایبنیتز پادمرکز (لی-مرکز) و چندین مفهوم مرتبط با این نظریه خواهیم پرداخت. ‎هچنین‎ کران هایی برای بُعد اَبَرمرکز یک جبر لایبنیتز به‌دست آوریم. بعلاوه به بررسی و مطالعه توسیع‌های لی-مرکزی و به‌دست آوردن دنباله دقیق 6 جمله‌ای از گروه‌های لی-همولوژی مرتبط با توسیع‌های لی-مرکزی می‌پردازیم. از این‌رو می‌توانیم توسیع‌های لی-تنه‌ای‏، پوشش‌های-تنه‌ای و لی-توانا جبرهای لایبنیتز را توصیف و بررسی کنیم.  

  فرض کنید ‎$V$‎ یک فضای برداری ‎$n$-‎بعدی روی میدان متناهی ‎$q$-‎عضوی باشد. گراف گراسمان ‎$V$‎ که به صورت ‎$\\Gamma _k(V)$‎ نشان داده می‌شود، یک گراف ساده است که مجموعه رئوس آن مجموعه‌ی تمام زیرفضاهای ‎$k$-‎بعدی از ‎$V$‎ است به طوری‌که ‎<k<n-1$‎ باشد و دو راس متمایز در این گراف، دو راس مجاور هستند اگر اشتراک آن‌ها، زیرفضای ‎$k-1$-‎بعدی از ‎$V$‎ باشد. تحدید گراف گراسمان ‎$\\Gamma _k(V)$‎ به مجموعه‌ی تمام ‎$[n,k]_q$-‎کدهای‌خطی غیرمولد با نماد ‎$\\Gamma (n,k)_q$‎ نشان داده می‌شود. در این پایان‌نامه نشان می‌دهیم که اگر ‎$n$‎ به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد آن‌گاه دو کد وجود دارند که فاصله آن‌ها در ‎‎‎ گراف‌های ‎$\\Gamma _k(V)$‎ و ‎$\\Gamma (n,k)_q$‎ متفاوت است. همچنین یک کلاس از چنین کدهایی ‎معرفی می‌شود. در ادامه نشان داده می‌شود که زیرگراف القایی ‎$\\Gamma _k(V)$‎ روی ‎$[n,k]_q$-‎کدهای تصویری همبند است، قطر آن برابر است با قطر گراف گراسمان و فاصله بین هر دو راس آن برابر است با فاصله بین همان دو راس در گراف گراسمان. سپس به بررسی کدهای سادکی می‌پردازیم. در پایان ثابت می‌کنیم کد سادکی دودویی از بعد ‎$3$‎ دقیقاً زیرفضای ماکزیمال از یک فرم درجه دوم غیرمولد آن است.

 در این پایان نامه به بررسی شرایط لازم و کافی برای این که یک حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب باشد پرداخته ایم. فصل اول شامل مفاهیم و تعاریف اولیه می باشد. در فصل دوم حلقه گروه پوچ-تمیز و به طور ضعیف پوچ-تمیز را تعریف می کنیم. هدف اصلی فصل سوم بررسی حلقه گروه به طور ضعیف پوچ-مرتب می باشد.

 در این پایان نامه رابطه بین عمق و عدد نظم ایده آل همگن Iو ایده آل های (I,f)و I:fبه طوریکه f یک فرم خطی یا تک جمله باشد، را بررسی می‌کنیم.

ر این پایان نامه روش های بی-اسپلاین درجه سوم وششم برای حل مشاله مقدار مرزی مرتبه دوم غیر خطی منفرد بکار گرفته شده است.   سه روش بدست آمده که روش اول بر اساس بی-اسپلاین درجه سوم باطول کام یکسان و روش دوم بر اساس طول گام متغیر با بی- اسپلاین مکعبی می باشد. روش سوم با استفاده از بی-اسپلاین درجه ششم، یک روش از مرتبه هفتم برای تقریب جواب مساله مقدار مرزی مرتبه دوم غیر خطی منفرد بدست آمده است.

در این پایان نامه برخی از روش ها از مرتبه دو را برای چهار نوع اسپلاین انتگرالی درجه دو بررسی شده است.ثابت شده است که اسپلاین انتگرالی درجه دو دارای همگرایی در تقریب مقدار تابع و تقریب مشتقات مرتبه دوم در نقاط میان بازه ای یکنواخت هستند.و همچنین بی اسپلاین درجه دوم برای درون یابی یک تابع جلو انتگرال با استفاده از مقادیر معلوم انتگرال در زیر بازه ها به جای مقادیر تابع در گره ها استفاده می شود .این درون یابی اسپلاین انتگرالی درجه دو نامیده می شود

موضوع اصلی این پایان نامه اثبات گویا بودن چند سری روی حلقه گرنشتاین کوتاه می باشد. 

   برای‎‎‎‎ عدد صحیح ‎‎$‎‎k\\geq 2‎$‎، یک گراف ‎‎$‎‎k‎$‎‎-رز گرافی است شامل ‎‎$‎‎k‎$‎ دور که در یک راس مشترک هستند. در این پایان‌نامه، نشان داده می‌شود که به استثناء دو مثال خاص، این گراف‌های رز توسط طیف لاپلاسین تعیین می‌شوند. سپس ثابت می‌شود که اگر طیف ماتریس لاپلاسین جهانی دو گراف رز یکسان باشد، آنگاه آن دو گراف یکریخت هستند. به یاد هورست ساکس (2016-1927)، با استفاده از قضیه ساکس و یک نتیجه جدید در مورد تعداد تطابق‌‌ها در اجتماع مجزای مسیرها، حالت خاص نتیجه مذکور در مورد ماتریس مجاورت را اثبات می‌کنیم. سپس روش جدیدی برای تعیین دنباله درجات گراف‌های متعلق به یک کلاس هم‌طیف معرفی می‌شود. در دیگر نتایج، ثابت می‌کنیم که تمام گراف‌های ‎‎$‎‎2‎$‎‎-رز، به غیر از یک مورد، توسط طیف لاپلاسین بدون علامت تعیین می‌شوند.

  G نسبت به H باشد. اندازه چرمارک دلگادو G از زیرگروه H و گروه متناهی یک G فرض کنیدکه دارای اندازه G شود. مجموعه همه زیرگروه های تعریف می mG(H) = |H||CG(H)| به صورتاست. در G تمام زیرگروه های ای از مشبکه دهیم که زیرمشبکه نشان می CD(G) ماکزیمم هستند را بازیرنرمال است. همچنین اگر G در H باشد آنگاه H   CD(G) کنیم که اگر این پایان نامه ثابت میکه در CD(G ? Cp)   به علاوه. به علاوه CD(G H) = CD(G) CD(K) باشد آنگاه گروه متناهی یک Kکنیم که را بیان می عدد فرد اول است را توصیف کرده و شرایطی یک    و گروه غیر بدیهی یک G آنخودش باشد. نهایتاً به دسته بندی چرمارک دلگادو عضوی از مشبکه تحت آن حاصل ضرب پیچشیآنها با بازه زیر برابر است: چرمارک دلگادو پردازیم که مشبکه گروه هایی می[G/Z(G)] = {   L(G)|Z(G)   H   G}.

  هدف از این پایان نامه مطالعه حلقه هم مورفیک چپ می باشد.عنصر a از حلقه R هم مورفیک چپ نامیده می شود هرگاه عضو b از R وجود داشته باشد به طوری که Ra = l(b) و r(a) = bR

فرض کنید   G گرافی ساده با طیف لاپاسین ????_1???_2???????_(n-1)???_n=  باشد. گستردگی لاپلاسین G به صورت   S_L (G)=?_1-?_(n-1)  تعریف می شود. در این پایان نامه، کران های پایین جدیدی برای گستردگی لاپلاسین برحسب پارامترهای گرافی مانند پهنای باند، عدد استقلال و همبندی راسی به دست می ایند. سپس یک کران بالای بهینه برای   S_L (G)  ارائه کرده و با استفاده از آن حدس  _L (G)?n-1   را برای گراف –t   شبه منظم به ازای  t??(n-3+2/n) اثبات می کنیم. در بین دیگر نتایج نشان داده می شود که این حدس برای برخی گراف های خاص مانند گراف های خالی از مثلث درست است. در پایان، چند کران برای  _L (G) ارائه می دهیم.  

واژههایکل?دی: مدولتقر?باانژکت?و،جمعمستق?م،مدولباطولمتناه?،مدول?کنواخت،مدول تجز?ه ناپذ?ر،مدولخود-انژکت?و،حلقهتجز?ه ناپذ?ر،حلقهمنظموننو?مان  

   درسال 1975 اوسلندر-ریتن حدسی را بیان کردند   که به شرح زیر است:  فرض کنیم  ?   ?ک جبرآرت?نی وM یک   R-مدول متناهی مولد باشد همچنین برای هر   i>0  Ext^i_R(M,M+? )=0.    در اینصورت یک مدول پروژکتیو است .  درا?نپا?ان نامهمادوحالتخاص ازحدس اوسلندر?ر?تن رابررسی میکن?م.    . به جای جبرآرتن،حلقه ی موضعی   کوهن?مکالی قرارمیده?م.  کلمات کلیدی دی: حدس اوسلندر-ریتن،حلقه کوهن?مکالی ،حلقه نرمال،حلقه گرنشتاین،مدول آزاد،ا?ده آلبه طورضعیف کامل-   و مدول  Ext .

 دوروش برای حل عددی معادله انتشار کسری ارایه شده که، روش اول براساس طرح تفاضل متناهی برای گسسته سازی زمان وتقریب مشتق دوم نسبت به مکان به وسیله توابع بی اسپلان مثلثاتی درجه سه به کمک گسسته سازی گرونوالد از مشتق ریمان لیویل بدست می آید، در ادامه یک معادله انتشار کسری از مرتبه متغیر داریم که برای حت عددی آن یک روش تفاضل متناهی فشرده نوع کرانک نیکلسون بادقت زمانی مرتبه دوم ودقت مکانی مرتبه چهارم  ارایه شده است. 

  چکیده در این پایان نامه دو روش حل عددی را برای تقریب جواب معادله فیشر?کولموگروف تعمیم یافته بررسی خواهیم کرد. هر دو روش تحت برریس، از رده روش های تفاضل متناهی می باشند، ابتدا یک روش تفاضل متناهی غیرخطی با مرتبه دقت بالا، برای حل معادله فیشر- کولموگروف تعمیم یافته شرح داده خواهد شد. شرایط وجود و یکتایی جواب بررسی خواهد شد، با استفاده از قضیه انرپی ثابت می شود مرثیه همگرایی روش در جهت مکان برابر چهار و درجهت زمان برابر دو است. مثالهای عددی، صحت نتایج تئوری بدست آمده را تایید می کند. به علاوه، به شرح یک روش خطی سه مرحله ای برای تقریب جواب معادله فیشر – کولموگروف تعمیم یافته یک و دو بعدی پرداخته می شود. وجود و یکتایی جواب عددی روش بررسی خواهد شد. با بررسی همگرایی و پایداری روش، ثابت خواهد شد روش در هر دو جهت مکان و زمان، از مرتبه دو همگراست و به طور نامقید ناپایدار است.

در این پایان‌نامه، دو کران طیفی برای عدد $-k$استقلال گراف مشخص می‌شود. عدد $-k$استقلال گراف، اندازه بزرگ‌ترین مجموعه‌ای از رئوس گراف است که فاصله هردو راس مجاور آن بزرگ‌تر از $k$ باشد. همچنین ساختار گراف‌هایی را تعیین می‌کنیم که برای کران اول بهینه باشند و نشان می‌دهیم که کران دوم نسبت به کران‌های قبلی برای عدد $-k$استقلال گراف مناسب‌تر است. در دیگر نتایج، کران پایینی نیز، برای عدد رنگی و عدد رنگی کسری گراف، ارائه می‌شود که برحسب اینرسی گراف مشخص می‌شود. همچنین گراف‌هایی بهینه نیز، برای این کران‌ها معرفی می‌کنیم. به‌علاوه، ثابت می‌کنیم که این کران، کران پایینی برای عدد رنگی برداری گراف نمی‌باشد. در پایان، چند نتیجه از نوع نتایج نوردهاوس-گادوم بیان و اثبات می‌شود.

حلقه یکدار ‎$R$‎ پوچ تمیز نامیده می‌شود هرگاه هر عضو را بتوان به صورت حاصل جمع یک عضو خودتوان و یک عضو پوچتوان بیان کرد. در این پایان نامه، حلقه‌های پوچ تمیز روی میدان‌ها به طور کامل مشخص می‌شوند. در واقع ثابت می‌کنیم که برای میدان ‎$F$‎ حلقه ماتریسی ‎$M_n(F)$‎ پوچ تمیز است اگر و تنها اگر ‎$F\\cong \\  {Z}_2$‎. به عنوان کاربردی از این موضوع همه گروه ‌های آبلی که حلقه خودریختی‌های آن حلقه‌ای پوچ تمیز است دسته‌بندی می‌شوند. ‎\\\\‎ برای حلقه جابجایی و متناهی ‎$R$‎، گراف پوچ تمیز ‎$G_N(R)$‎ گرافی ساده است که مجموعه رئوس آن اعضای ‎$R$‎ است و دو عضو ‎$a$‎ و ‎$b$‎ با هم مجاور هستند هرگاه ‎$a+b$‎ عضوی پوچ تمیز باشد. در این پایان نامه، ویژگی‌هایی از گراف پوچ تمیز مثل کمر، مجموعه احاطه‌گر، قطر و غیره مورد مطالعه قرار می‌گیرد.  

کار روی معادلات دیفرانسیل کسری در دو دهه اخیر رشد قابل توجهی داشته است، زیرا که برای بسیاری از مسایل دنیای واقعی به خصوص مواردی که نیاز به حافظه دارند، مشتقات کسری نسبت به مشتقات مرتبه صحیح مدل های دقیق تری را فراهم می آورند. در این پایان نامه روش هایی برای تقریب جواب رده های خاصی از معادلات پخش مطالعه و بررسی می شود. روش های اسپلاین چند جمله ای و غیر چند جمله ای برای حل معادلات پخش یک بعدی، روی دامنه بی کران به کار برده می شود. یک روش عددی برای مساله پخش کسری، با استفاده از اسپلاین درجه پنج پارامتری ارایه می شود. در ضمن معرفی روش های یاد شده، وضعیت همگرایی و پایداری آن ها نیز تحلیل خواهد شد. در پایان نیز به منظور تشریح میزان کارایی روش های عددی، به حل مثال های عددی با این روش ها پرداخته خواهد شد.

فرض کنید ‎$G$‎ یک گروه متناهی و ‎$\\gamma(G)$‎و‎$l(G)$‎به ترتیب نشان دهنده تعداد کلاس‌های مزدوجی زیرگروه‌هایغیرپوچ‌توان و تعداد کلاس‌های مزدوجی زیرگروه‌های غیرنرمال غیرپوچ‌توان‎$G$‎باشد. در این پایان نامه ثابت می‌کنیم که اگر گروه ‎$G$‎ حل‌پذیر باشد، آنگاه ‎$\\gamma(G) \\geq 2^{|\\pi(G)|‎ -‎2}$‎و اگر ‎$G$‎ غیرحل‌پذیر باشد، آنگاه ‎$\\gamma(G) \\geq |\\pi(G)|‎ +‎1$‎و‎$l(G) \\geq |\\pi(G)|$‎که در آن ‎$|\\pi(G)|$‎تعداد شمارنده‌های اول مرتبه ‎$G$‎ است. همچنین گروه‌هاییرا که حالت تساوی در آنها صادق است را به طور کامل دسته‌بندی می‌کنیم.

فرض کنید ‎$G$‎ گرافی ‎$‎ ‎-n$‎راسی و ‎$‎ -‎m $‎یالی با طیف لاپلاسین ‎$\\mu_1 \\geq \\mu_2 \\geq\\cdots\\geq \\mu_{n-1} \\geq \\mu_n = 0$‎باشد. انرژی لاپلاسین گراف ‎$ G $‎ به ‌صورت ‎$LE =\\sum_{i=1}^n|\\mu_i-\\frac{2m}{n}|$‎ تعریف می‌شود. در این پایان‌نامه، گراف‌هایی که دارای حداکثر چهار مقدار ویژه لاپلاسین متمایز هستند مطالعه می‌شوند. همچنین، ما از این گراف‌ها برای بدست آوردن تعدادی کران بالا و پایین برای انرژی لاپلاسین استفاده می‌کنیم. در دیگر نتایج، به رده‌بندی این گراف‌ها زمانی که دوبخشی یا دارای دقیقاً یک مقدار ویژه لاپلاسین غیر ساده هستند، می‌پردازیم.فرض ‌کنید ‎$ \\sigma $‎ بزرگترین عدد صحیح مثبت باشد، به طوری که ‎$.\\mu_{\\sigma}\\geq \\dfrac{2m}{n}$‎گراف‌هایی که در شرط ‎$ \\sigma =n-1 $‎ صدق می‌کنند رده‌بندی خواهند شد. با استفاده از این مطلب کران‌های پایینی برای ‎$ LE $‎ برحسب ‎$ n $‎ ، ‎$ m $‎ و اولین اندیس زاگرب بدست می‌آوریم.علاوه‌براین، به محاسبه کران بالای ‎$ LE $‎ گراف‌ها برحسب پارامترهای مانند ‎$ n $‎، ‎$ m $‎ ، ماکسیمم درجه، عدد پوششی راسی و عدد بسته درختی می‌پردازیم.در پایان، رابطه‌ای بین انرژی لاپلاسین و شبه انرژی لاپلاسین گراف‌ها می‌یابیم.

در علومی مانند ریاضیات مالی، فیزیک، زیست‌شناسی و... معادلاتی وجود دارند که دارای یک یا چند جمله تصادفی هستند. از آن‌جایی‌که این معادلات معمولاً جواب دقیق ندارند در سال‌های اخیر حل عددی اینگونه معادلات بسیار مورد توجه قرار گرفته است.معادلات رندم ‎‎‎‎ دسته مهمی از معادلات دیفرانسیل هستند که شامل فرایند نویز می‌باشند. این معادلات را می‌توان به صورت مسیری به عنوان یک معادله دیفرانسیل معمولی‎‎‎‎ در نظر گرفت‏،‎‎ اما از آنجایی‌که روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی برای این دسته از معادلات لزوماً مرتبه همگرایی آنها را   حفظ ‎نمی‎‎‌کنند‏، حل عددی این معادلات یکی از مهم‏‎‎‌ترین مباحث آنالیز عددی است.  دسته خاصی از معادلات رندم، معادلات رندم با نویز آفین هستند که دارای کاربردهای فراوانی می‌باشند، در این پایان‌نامه   به ارائه روش‌های عددی مبتنی بر بسط تیلور   پرداخته می‌شود و سپس روش‌های چندگامی خطی   برای حل این معادلات به کار برده می‌شوند و مرتبه همگرایی آنها مورد بررسی قرار می‌گیرد. سپس روش‌های عددی ارائه شده برای حل عددی یک مدل کاربردی در زیست‌شناسی به کار برده می‌شوند.در ادامه حل عددی معادلات دیفرانسیل رندم با یک پخش ایتو که جوابی از معادله دیفرانسیل تصادفی ایتو است مورد بررسی قرار می‌گیرد.   تحت شرایط استاندارد به بررسی همگرایی مسیری روش‌های تیلور مرتبه ‎$ \\gamma $‎ برای حل این دسته از معادلات پرداخته می‌شود. سپس این نتایج   بر روی مدل‌هایی که در پزشکی کاربرد فراوانی دارند اعمال می‌شوند.

فرض کنید $ R $ یک حلقه‌ی شرکت‌پذیر یک‌دار و $ M $ یک مدول یکانی باشد. در این پایان‌نامه رادیکال جیکوبسن $ M $ به اختصار با$ rad(M) $ نشان داده می‌شود. همچنین نماد $ N\\subseteq^{ess} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ در $ M $ اساسی است و نماد $ N \\subseteq^{\\oplus} M $ به این معناست که زیرمدول $ N $ یک جمعوند مستقیم از $ M $ است. حلقه‌ی درون‌ریختی $-R$ مدول راست $ M $, یعنی $ End(M) $, با $ S $ نشان داده می‌شود. $ M $ را یک مدول $ C_1 $نامند هرگاه هر زیرمدول از آن در جمعوند مستقیمی از $ M $ اساسی باشد. $ M $ را یک مدول $ C_2 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که $ A \\simeq B $ و $ B \\subseteq^{\\oplus} M $, آن‌گاه $ A \\subseteq^{\\oplus} M $.$ M $ را یک مدول $ C_3 $ نامند هرگاه $ A $ و $ B $ زیرمدول‌هایی از $ M $ باشند بطوری‌که   $ A \\subseteq^{\\oplus} $, $ B \\subseteq^{\\oplus} M $ و $ A \\cap B =o $, آن‌گاه $ A \\oplus B \\subseteq^{\\oplus} M $. هدف ما در این پایان‌نامه معرفی و بررسی مدول‌های $ C_3 $ است. نشان داده می‌شود که برای $ 1 \\leq i \\leq 3 $ یک جمعوند از مدول $ C_i $, باز هم یک مدول $ C_i $ است. با وجود این‌که لزومی ندارد مدول $ C_3 $ مدول $ C_2 $ باشد, نشان داده شده است که اگر $ A_{1} \\oplus A_{2} $ یک مدول $ C_3 $ باشد آن‌گاه یک نسبت مدول $ C_2 $ بودن بین $ A_{1} $ و $ A_{2} $ وجود دارد.

  دستگاه معادلات غیرخطی یکی از مسائل مهم و‎‎‎ پرکاربرد در ریاضیات کاربردی است. روش‌های متفاوتی برای حل این مسئله تا کنون ارائه شده است. از میان روش‌های تکراری برای حل این مسائل‏، می‌توان به روش نیوتن‏، روش‌های شبه نیوتن و نسخه‌های تغییر یافته آنها اشاره کرد. نقطه ضعف مهم این روش‌ها برای مقادیر بزرگ ‎‎‎n‎‎‎‏، نیاز به محاسبه ماتریس ژاکوبی در هر تکرار و حل دستگاه معادلات خطی متناظر می‌باشد.در حالات خاص که دستگاه معادلات دارای خواص ویژه باشد‏، الگوریتم‌های خاصی مورد استفاده قرار می‌گیرند. یکی از این رده‌های خاص دستگاه معادلات غیرخطی یکنوا می‌باشد. رده روش‌های مبتنی بر تصویر یکی از مهمترین رده از روش‌های موجود برای حل مسئله فوق می‌باشد.هدف این پایان‌نامه‏، ارائه دو خانواده جدید از این روش‌ها می‌باشد که بواسطه نیاز به ذخیره‌سازی کمتر‏، در حل دستگاه‌ معادلات غیرخطی مقیاس بزرگ یکنوا کاربرد دارند و در شرایط کاهش کافی صدق می‌کنند. نتایج عددی به‌دست آمده نشان می‌دهد که این روش‌ها برای حل مسائل آزمون موثر و کارا می‌باشند.

فرض کنید R ی? حلقه جابجایr نوتری و E همتولید شده انژکتیو مینیمال از رسته R?مدولها باشد. R?مدول M انع?اسr ماتلیس است اگر ن?اشت طبیعr M ?? HomR(HomR(M, E), E) ی? ی?ریختr باشد. در این پایاننامه ثابت مrکنیم که اگر S ی? زیر مجموعه بسته ضربr از R و M ی? R-مدول انع?اسr باشد. آن?اه M ی? Rs?مدول انع?اسr است. ع?س این مطلب وقتr برقرار است که S م?مل اجتماع تعداد متناهr ایدهآلهای اول غیر مینیمال R باشد اما در حالت کلr این موضوع برقرار نیست. فرض کنید (m, R (ی? حلقه موضعr و (m/R(ER = E پوشش انژکتیو میدان خارج قسمتr m/Rو SpecR ? p ی? ایدهآل اول با بعد ی? و (p/R(ER پوشش انژکتیو p/R باشد. به عنوان نتیجه اصلr ثابت مrکنیم دوگان ماتلیس (p/R(ER یعنr (E, p/R(ER(HomR با Rcp ی?ریخت است (Rcp کامل شد?? Rp ( اگروفقط اگر p/R کامل باشد. در حالتr که R حوزه صحیح با بعد ی? است توصیف ? Q بر حسب Rb بیان مrشود، که در آن Q میدان کسرهای R است. R کاملr از Rb کلمات کلیدی: انع?اسr ماتلیس، پوشش انژکتیو، م?مل، حوزهصحیح با بعد ی? ،دوگان ماتلیس، همتولیدشده انژکتیو مینیمال

  فرض کنید G یک گراف ساده با مجموعه رئوس V(G)، r یک عدد صحیح نامنفی و باشد. اگر زیرگراف القایی روی S، r-منظم باشد، آنگاه کران‌هایی بالا و پایین برای مجموع مربعات مولفه‌های بردار ویژه اصلی متناظر با رئوس S ارائه می‌شوند. علاوه‌براین یک رده‌بندی طیفی از خانواده‌هایی از گراف‌های شکافته بر حسب شعاع طیفی و مولفه‌های بردار ویژه اصلی متناظر با رئوس متعلق به مجموعه مستقل ماکسیمم بدست می‌آید. یک رنگ‌آمیزی یالی از گراف G با استفاده از اعداد طبیعی، رنگ‌آمیزی یالی جمعی نامیده می‌شود هرگاه رنگ یال‌های واقع بر هر راس گراف G متمایز بوده و مجموع‌شان مینیمم شود. عدد رنگی یالی جمعی گراف G، مجموع رنگ یال‌ها در رنگ‌آمیزی یالی جمعی است. در این پایان‌نامه یک الگوریتم -تقریبی با زمان چندجمله‌ای برای مسئله عدد رنگی یالی جمعی گراف‌های r-منظم با ساخته خواهد شد. در سایر نتایج N-کامل بودن مسئله عدد رنگی یالی جمعی برای گراف‌های دوبخشی و منظم بررسی می‌شود. در پایان تعدادی کران بالا برای عدد رنگی یالی جمعی برخی از گراف‌های شکافته ارائه می‌شود.  

  فرض کنید   یک همریختی موضعی یکدست حلقه‌ای،   و   دو -مدول متناهی مولد باشند. اثر متقابل بین خواص یک -مدول و صعود ساختار مدولی تحت یک همریختی موضعی حلقه‌ای را مورد بررسی قرار می‌دهیم. نشان می‌دهیم اگر   برای هر   در   صدق کند (بعنوان مثال اگر روی   متناهی مولد باشد) آنگاه برای هر ،   و   نیز دارای ساختاری S-مدولی سازگار با ساختار R-مدولی‌اش تحت

  در این پایان‌‌نامه، مثالی از یک گراف که ایده‌‌آل پوششی آن در خاصیت پایداری و عمق غیرصعودی صدق نمی‌کند ارائه می‌دهیم. علاوه بر این به بررسی گراف‌های کوهن-مکالی دنباله‌ای (که به‌وسیله افزودن ویسکر ایجاد می‌شوند) می‌پردازیم. سپس جداسازی دورهای کزول را معرفی می‌کنیم، با استفاده از آن یک پایه از رده‌های همولوژی دورهای کزول    ارائه می‌شود (     جداسازی ایده‌آل تک‌جمله‌ای I از حلقه چندجمله‌ای S=K[ , … ,   است)؛ تابع عمق توان‌های ایده‌آل‌های یالی گراف‌های ویسکر را مطالعه خواهیم کرد. همچنین به بیان ارتباط بین مفاهیم اندیس پایداری و اندیس پایداری عمق می‌پردازیم؛ درواقع برای گراف متناهی، ساده و همبند G نشان می‌دهیمdstab(I(G)) < l(I(G))   . کران بالایی برای اندیس پایداری عمق یک درخت تعیین می‌کنیم، برا این اساس نشان می‌دهیم برای هر دو عدد 1 ? a <    یک درخت   موجود است که dstab(I(G)) = a و l(I(G))=b.